Zobrazenie zdroja stránky Inverzné zobrazenie (funkcia)

'''Inverzné zobrazenie''' alebo '''inverzná funkcia''' k nejakému [[Zobrazenie (matematika)|zobrazeniu]] (funkcii) <math>f: A \rightarrow B</math> priraďuje prvkom množiny B prvky z [[Množina|množiny]] A , teda priraďuje ''[[Zobrazenie (matematika)#Vzor a obraz množiny|obrazom]]'' zobrazení ''f'' ich ''vzory''. Inak povedané, inverzné zobrazenie zobrazuje „opačným smerom“ ako pôvodné zobrazenie.

== Definícia ==
Ak je <math>f: A \rightarrow B</math> [[zobrazenie]], resp. <math>f = \left \lbrace (a, b) | a \in A, b \in B \right \rbrace</math>, potom inverzné zobrazenie je <math>f^{-1}: B \rightarrow A</math> také, že <math>f^{-1}(b) = a \Leftrightarrow f(a) = b</math> resp. tiež <math>(b, a) \in f^{-1} \Leftrightarrow (a, b) \in f</math> (tu <math>f</math> a <math>f^{-1}</math> sú v zmysle [[binárna relácia|relácie]]).
Z toho vyplýva, že zobrazenie ''f'' musí byť [[prosté zobrazenie|prosté]], tzn. rôznym prvkom <math>a, a'</math> musí priraďovať rôzne prvky <math>b, b'</math> - inak by nebolo jednoznačne určené, na čo sa má zobraziť prvok ''b'' v inverznom zobrazení.

== Vlastnosti ==
Inverzné zobrazenie je:
*[[Prosté zobrazenie|jednoduché]]
*[[Zobrazenie na|surjektívne]] („na“)
*<math>f(f^{-1}(x)) = f^{-1}(f(x)) = x</math>

Ku každému [[vzájomne jednoznačné zobrazenie|vzájomne jednoznačnému zobrazeniu]] je možno nájsť zobrazenie inverzné.

== Inverzné funkcie ==
Majme [[Zobrazenie (matematika)|funkciu]] <math>y = f(x)</math> s [[definičný obor|definičným oborom]] <math>D</math> s [[obor hodnôt|oborom hodnôt]] <math>V</math>. '''Inverznú funkciu''' k funkcii <math>f</math> nazveme funkciou <math>x = g(y)</math> s definičným oborom <math>V</math>, ktorá každému <math>y \in V</math> priradí práve to <math>x \in D</math>, pre ktoré platí <math>y = f(x)</math>. 
Inverzná funkcia k funkcii <math>f</math> býva tiež zapisovaná ako <math>f^{-1}</math>.

Ak je ''f'' [[prostá funkcia]], potom k nej je možné nájsť inverznú funkciu. V takom prípade je [[graf (funkcia)|graf]] inverznej funkcie k ''f'' [[Osová súmernosť|osovo súmerný]] s grafom ''f'' podľa [[os]]i 1. a 3. [[kvadrant]]u. Z toho vyplýva, že [[Identita|identická funkcia]] <math>f(x) = x</math> je inverzná sama k sebe.

== Externé odkazy ==
* [http://www.sportgymke.sk/mvd/PojemFunkcieAJejVlastnosti/ProstaAInverznaFunkcia.pdf Prostá funkcia. Inverzná funkcia.] 
* [https://cloud5.edupage.org/cloud/kniznica.pdf?z%3ArJAlYm4f4xVATjhTdpRa9N1l9u7YMW2o133pyVXOIKwhRRkFrTIv5MRF1BPud2U5 Inverzná funkcia - vlastnosti] 

[[Kategória:Teória množín]]
[[Kategória:Matematická analýza]]
[[Kategória:Matematické funkcie]]