Zobrazenie zdroja stránky Fibonacciho postupnosť

'''Fibonacciho postupnosť''' je [[postupnosť čísiel]], v ktorej každý ďalší člen ''F'' je súčtom dvoch predchádzajúcich členov.

== Konštrukcia postupnosti ==  
Postupnosť sa začína číslami 0 a 1, takže dostaneme:
* <math>F_0 = 0</math>, postupnosť je (0)
* <math>F_1 = 1</math>, postupnosť je (0, 1)
* <math>F_2 = F_0 + F_1 = 0 + 1 = 1</math>, postupnosť je (0, 1, 1)
* <math>F_3 = F_1 + F_2 = 1 + 1 = 2</math>, postupnosť je (0, 1, 1, 2)
* <math>F_4 = F_2 + F_3 = 1 + 2 = 3</math>, postupnosť je (0, 1, 1, 2, 3)
* <math>F_5 = F_3 + F_4 = 2 + 3 = 5</math>, postupnosť je (0, 1, 1, 2, 3, 5)
* …
Po zovšeobecnení, pre <math>n > 1</math>:
: <math>F_n = F_{n-2} + F_{n-1}</math>

== Fibonacciho čísla ==
Jednotlivé členy postupnosti sa nazývajú ''Fibonacciho čísla''.
: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393…

== Názov postupnosti ==
Fibonacciho postupnosť a Fibonacciho čísla nazval francúzsky matematik [[Édouard Lucas]] (1842-1891) podľa stredovekého talianskeho matematika [[Leonardo Pisano Fibonacci|Leonarda z Pisy]], prezývaného Fibonacci.

Postupnosť sa niekedy nazýva aj ''zlatá cesta'' (z gréc. ''χρνσοδρομος'', ''chrysodromos'').

== Matematické vlastnosti ==
=== Zlatý rez ===
[[Johannes Kepler]] upozornil na skutočnosť, že podiel dvoch po sebe nasledujúcich fibonacciho čísel <math>\left(\tfrac{F_{n+1}}{F_n}\right)</math> [[konvergencia|konverguje]] k číslu, ktoré bolo známe už od antiky, označuje sa symbolom '''&phi;''' ([[grécka abeceda|grécke písmeno]] fí) a nazýva sa tiež [[zlatý rez]]. Vyjadrené modernou matematikou:
:<math>\lim_{n\to\infty}\frac{F_{n+1}}{F_n} = \varphi = 1{,}6180339887</math>

Vzťah čísla '''&phi;''' a Fibonacciho postupnosti ukazujú tiež vzťahy:
:<math>F_n = \frac{\varphi^n - (1 - \varphi)^n}{\sqrt 5}</math>

:<math>\varphi^n = F_{n-1} + \varphi F_n</math>

=== Súčet postupnosti ===
: <math>F_0 + F_1 + \dots +F_n = \sum_{i=0}^n F_i = F_{n+2} - 1</math>

: <math>1F_1 + 2F_2 + \dots +nF_n = \sum_{i=1}^n iF_i = F_{n+3} + 2</math>

Fibonacciho  čísla sa vyskytujú v sumách "plytkých"  uhlopriečok v Pascalovho trojuholníka (pozri koeficient  dvojčlen). [17]

     F_ {n} = \ sum_ {k = 0} ^ {\ lfloor \ frac {n-1} {2} \ rfloor} \ tbinom {nk-1} k

Fibonacci čísla možno nájsť v rôznych spôsoboch v poradí binárnych reťazcov.

     * Počet binárnych reťazcov dĺžky n bez následného 1s je Fibonacci číslo Fn +2.
 Napríklad, z 16 binárnych reťazcov dĺžky 4, sú F6 = 8 bez následného 1s - sú 0000, 0100, 0010, 0001, 0101, 1000, 1010 a 1001. 
Symetriou, počet reťazcov dĺžky n bez následného 0s je tiež Fn 2.
     * Celkový počet binárnych reťazcov dĺžky n bez nepárneho počtu po sebe idúcich 1s je Fibonacci číslo Fn +1.
 Napríklad, z 16 binárnych reťazcov dĺžky 4, sú F5 = 5 bez nepárneho počtu po sebe idúcich 1s - sú 0000, 0011, 0110, 1100, 1111.
     * Počet binárnych reťazcov dĺžky n bez párnym počtom po sebe idúcich 0s alebo 1s je 2Fn.
 Napríklad, z 16 binárnych reťazcov dĺžky 4, sú 2f4 Pohostinstvo = 6 bez párnym počtom po sebe idúcich 0s alebo 1s - sú 0001, 1000, 1110, 0111, 0101, 1010.

== Externé odkazy ==
* [http://www.archimedes-lab.org/atelier.html?http://www.archimedes-lab.org/nombredormachine.html Fibonacci Series] (en)


{{Matematický výhonok}}

[[Kategória:Postupnosti čísel]]
[[Kategória:Eponymické termíny v matematike]]