Zobrazenie zdroja stránky Extrém (funkcia)

'''Extrém''' je hodnota funkcie, ktorá má tú vlastnosť, že je buď najmenšia alebo najväčšia spomedzi všetkých funkčných hodnôt na určitom intervale. Extrémy funkcie sa rozlišujú na lokálne a globálne.
==Lokálne extrémy==
===Lokálne minimum=== 
'''Lokálne minimum''' <math>f(x_0)</math> je najmenšia hodnota, ktorú funkcia <math>f</math> nadobúda na nejakom okolí A bodu <math>x_0</math>.<br />

<math>\forall x\in A\subset D(f):f(x)\geq f(x_0)</math><br />

===Lokálne maximum=== 
'''Lokálne maximum''' <math>f(x_0)</math> je opak lokálneho minima, teda najväčšia hodnota, ktorú daná funkcia nadobúda na nejakom okolí A bodu <math>x_0</math>.<br />

<math>\forall x\in A\subset D(f):f(x)\leq f(x_0)</math><br />

==Globálne extrémy==
===Globálne minimum===
'''Globálne minimum''' <math>f(x_0)</math> je najmenšia funkčná hodnota spomedzi všetkých funkčných hodnôt funkcie na jej definičnom obore.<br />

<math>\forall x\in D(f):f(x)\geq f(x_0)</math><br />

===Globálne maximum===
'''Globálne maximum''' <math>f(x_0)</math> je najväčšia funkčná hodnota spomedzi všetkých funkčných hodnôt funkcie na jej definičnom obore.<br />

<math>\forall x\in D(f):f(x)\leq f(x_0)</math><br />

==Hľadanie extrémov funkcie==
Funkcia môže mať extrém v bode <math>x_0</math>  vtedy, ak je v danom bode prvá derivácia funkcie nulová alebo ak táto derivácia neexistuje.

Ak platí :<br />

<math>f'(x_0)=0</math><br />

potom :

Ak <math>f''(x_0)<0</math>, ide o lokálne maximum.<br />
Ak <math>f''(x_0)>0</math>, ide o lokálne minimum.<br />
Ak <math>f''(x_0)=0</math>  a  <math>f'''(x_0)<>0</math>, ide o tzv. [[sedlový bod|sedlový, resp. inflexný bod]], a tu sa lokálny extrém nenachádza.

===Príklad 1===
Pri hľadaní extrémov funkcie <math>f(x)=x^2+4x+1</math> treba najprv funkciu [[Derivácia (funkcia)|zderivovať]]. Deriváciou vznikne funkcia <math>f'(x)=2x+4</math>. Extrém môže byť v tom bode, v ktorom je derivácia danej funkcie nulová, teda

<math>f'(x_0)=0\Leftrightarrow x_0=-2</math>

Druhá derivácia v bode –2 je kladná, preto má daná kvadratická funkcia v bode –2 minimum.

=== Príklad 2 ===
Prípad, kedy je derivácia v bode nulová, ale nie je tam extrém, je funkcia <math>f(x)=x^3</math>, jej derivácia je <math>f'(x)=3x^2</math>. Možný extrém je v bode 0, pretože <math>f'(0)=0</math>, ale funkcia je na celom intervale rastúca, takže sa v tom bode extrém nachádza.

== Externé odkazy ==
* [https://www.galeje.sk/web_object/9443.pdf Maximum a minimum funkcie] 

[[Kategória:Matematická analýza]]