Extrém (funkcia)

Extrém je hodnota funkcie, ktorá má tú vlastnosť, že je buď najmenšia alebo najväčšia spomedzi všetkých funkčných hodnôt na určitom intervale. Extrémy funkcie sa rozlišujú na lokálne a globálne.

Lokálne extrémy

Lokálne minimum

Lokálne minimum $f(x_0)$ je najmenšia hodnota, ktorú funkcia $f$ nadobúda na nejakom okolí A bodu $x_0$.

$\mathrm{\forall }x\in A\subset D(f):f(x)\ge f(x_0)$

Lokálne maximum

Lokálne maximum $f(x_0)$ je opak lokálneho minima, teda najväčšia hodnota, ktorú daná funkcia nadobúda na nejakom okolí A bodu $x_0$.

$\mathrm{\forall }x\in A\subset D(f):f(x)\le f(x_0)$

Globálne extrémy

Globálne minimum

Globálne minimum $f(x_0)$ je najmenšia funkčná hodnota spomedzi všetkých funkčných hodnôt funkcie na jej definičnom obore.

$\mathrm{\forall }x\in D(f):f(x)\ge f(x_0)$

Globálne maximum

Globálne maximum $f(x_0)$ je najväčšia funkčná hodnota spomedzi všetkých funkčných hodnôt funkcie na jej definičnom obore.

$\mathrm{\forall }x\in D(f):f(x)\le f(x_0)$

Hľadanie extrémov funkcie

Funkcia môže mať extrém v bode $x_0$ vtedy, ak je v danom bode prvá derivácia funkcie nulová alebo ak táto derivácia neexistuje.

Ak platí :

$f^{\prime }(x_0)=0$

potom :

Ak $f^{″}(x_0)<0$, ide o lokálne maximum.
Ak $f^{″}(x_0)>0$, ide o lokálne minimum.
Ak $f^{″}(x_0)=0$ a $f^{‴}(x_0)<>0$, ide o tzv. sedlový, resp. inflexný bod, a tu sa lokálny extrém nenachádza.

Príklad 1

Pri hľadaní extrémov funkcie $f(x)=x^2+4x+1$ treba najprv funkciu zderivovať. Deriváciou vznikne funkcia $f^{\prime }(x)=2x+4$. Extrém môže byť v tom bode, v ktorom je derivácia danej funkcie nulová, teda

$f^{\prime }(x_0)=0\iff x_0=-2$

Druhá derivácia v bode –2 je kladná, preto má daná kvadratická funkcia v bode –2 minimum.

Príklad 2

Prípad, kedy je derivácia v bode nulová, ale nie je tam extrém, je funkcia $f(x)=x^3$, jej derivácia je $f^{\prime }(x)=3x^2$. Možný extrém je v bode 0, pretože $f^{\prime }(0)=0$, ale funkcia je na celom intervale rastúca, takže sa v tom bode extrém nachádza.

Externé odkazy

• Maximum a minimum funkcie