Zobrazenie zdroja stránky Einsteinova sumačná konvencia

'''Einsteinova (sumačná) konvencia''' alebo '''Einsteinova notácia''' je v [[matematika|matematike]] a [[fyzika|fyzike]], špeciálne v oblasti [[lineárna algebra|lineárnej algebry]], spôsob zapisovania rovníc výhodný pri práci so zložkami [[tenzor|tenzorov]], v rámci nich špeciálne aj [[vektor|vektorov]] a [[kovektor|kovektorov]]. Túto konvenciu zaviedol [[Albert Einstein|A. Einstein]] v roku 1916.

Podľa tejto notácie, keď sa rovnaký index objaví v súčine dvakrát (raz ako horný a raz ako dolný), znamená to automatickú sumáciu cez všetky možné hodnoty tohoto indexu. V typických aplikáciách môže index nadobúdať hodnoty 1, 2, 3 v [[euklidovský priestor|euklidovskom priestore]] alebo 0, 1, 2, 3 v [[Minkowského priestor|Minkowského priestore]]. Počet hodnôt, ktoré index môže nadobúdať je rovný dimenzii priestoru, v ktorom pracujeme. V troch rozmeroch napríklad

:<math>y=c_ix^i\ </math>

automaticky znamená

:<math>y=\sum_{i=1}^3 c_ix^i=c_1x^1+c_2x^2+c_3x^3.</math>

Dôvodom na používanie tejto konvencie je sprehľadnenie zložitých rovníc, kde treba sumovať cez viacero rôznych indexov.

== Spúšťanie a dvíhanie indexov ==
Ak máme priestor s [[metrický tenzor|metrickým tenzorom]] <math>g_{ij}</math>, zavádza sa jeho inverzná matica vzťahom
:<math>g^{ac}g_{cb}:=\delta^a_b,</math>
kde <math>\delta^a_b</math> je [[Kroneckerova delta|Kroneckerov symbol]] (rovný 1, ak <math>a=b</math> a rovný 0, ak <math>a\neq b</math>). Potom možno zaviesť operáciu dvíhania a spúšťania indexov nasledovne:
:<math>\sharp_g\,:\quad\alpha_a\mapsto\alpha^a:=g^{ab}\alpha_b</math>
:<math>\flat_b\,:\quad v^a\mapsto v_a:=g_{ab}v^b</math>
Veličinám <math>v_a,v^a</math> sa niekedy zvykne hovoriť kovariantné a kontravariantné zložky (toho istého) [[vektor|vektora]] <math>v</math>. V striktnej terminológii sú však prvé z nich zložkami [[kovektor|kovektorov]].

Vzhľadom na to, že v euklidovskom priestore <math>g_{ab}=\delta_{ab}</math>, čísla <math>v_a</math> a <math>v^a</math> sú rovnaké, pre každé <math>v</math>. Preto sa pri práci v ňom často ignoruje poloha indexov hore-dolu.

== Zápis vektorov a kovektorov ==
V každom [[vektorový priestor|vektorovom priestore]] <math>V</math>si možno zvoliť [[báza (vektorový priestor)|bázu]]. Ak <math>\dim V=n</math>, tak báza má <math>n</math> bázových prvkov <math>e_i</math> a každý vektor možno pomocou nej jednoznačne rozpísať do komponent <math>v^i</math>. Zapisuje sa teda
:<math>v=\sum_{i=1}^{n}v^ie_i=v^ie_i=\left(\begin{array}{c}v_1\\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{array}\right)</math>

K vektorovému priestoru možno priradiť [[duálny priestor]] <math>V^\ast</math> lineárnych zobrazení <math>V\to\mathbb{R}</math> ([[kovektor|kovektorov]]), v ktorom existuje istá preferovaná báza <math>e^i</math>. Je to zobrazenie, pre ktoré platí
:<math>\langle e^i,e_j\rangle := e^i(e_j)=\delta_j^i.</math>
Pomocou tejto bázy možno každý kovektorov jednoznačne reprezentovať ako
:<math>\alpha = \sum_{i=1}^{n}\alpha_ie^i = \alpha_i e^i = \left(\alpha_1\, \alpha_2\, \cdots \, \alpha_n\right)</math>

== Bežné operácie ==
=== Operácie s vektormi ===
'''[[Skalárny súčin]]''' dvoch vektorov <math>u,v</math>možno zapísať ako
: <math>h(u,v)= h_{ij}u^i v^j</math>,
kde <math>h_{ij}</math> je matica skalárneho súčinu. Pre bežný [[skalárny súčin]] v euklidovskom priestore možno písať zjednodušene 
: <math>h(u,v)= u_iv^i = u^iv_i</math>

'''[[Vektorový súčin]] v E3''' dvoch vektorov možno zapísať ako
: <math>(u\times v)_i=\varepsilon_{ijk} u^j v^k</math>,
kde <math>\varepsilon_{ijk}</math> je úplne antisymetrický [[Levi-Civitov tenzor]], <math>\varepsilon_{123}=1</math>.

'''Veľkosť vektora''' v priestore s metrickým tenzorom <math>g_{ij}</math> sa počíta ako
: <math>\|v\|=\sqrt{g_{ij}v^iv^j}=\sqrt{v_iv^i}</math>.

=== Operácie s operátorom <math>\nabla</math> ===
<math>\nabla</math> ([[nabla]]) je diferenciálny operátor, so zložkami 
: <math>\left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\right)=\left(\partial_1,\partial_2,\partial_3\right),</math>
ktoré budeme označovať ako <math>\partial_i</math>. Zostávajúc v E3, v Einsteinovej sumačnej konvencii možno písať
:<math>\left(\textrm{grad}\, h\right)_i = \left(\nabla h\right)_i=\partial_i h</math>
:<math>\left(\textrm{rot}\,\textbf{A}\right)_i=\left(\nabla\times\textbf{A}\right)_i=\varepsilon_{ijk}\partial_j A_k</math>
:<math>\textrm{div}\,\textbf{A}=\nabla\cdot\textbf{A}=\partial_iA_i</math>
:<math>\triangle \textbf{A} = \partial_i \partial_i \textbf{A}</math>
=== Maticové operácie ===
[[matica|Maticami]] možno reprezentovať všetky dvojindexové [[tenzor|tenzory]]. Ak sú indexy tenzora vedľa seba, prvý z nich označuje riadok a druhý stĺpec matice. Ak sú indexy nad sebou, horný preberá úlohu prvého.

'''Maticové násobenie''' 
: <math>(\textbf{A}\cdot\textbf{B})^i_j=A^i_k B^k_j</math>

'''Stopa matice'''
:<math>\textrm{Tr}\textbf{A}=A^i_i</math>

== Matematické aplikácie ==
Einsteinovu sumačnú konvenciu možno šikovne využiť napríklad pri dôkazoch identít, kde vystupujú [[skalárny súčin|skalárne]], [[vektorový súčin|vektorové]] a [[tenzorový súčin|tenzorové súčiny]]. Uvedieme niekoľko príkladov pri práci v '''E3'''. Často sa pri tom budeme odvolávať na nasledujúce vzťahy:
:<math>\textbf{e}_i\cdot\textbf{e}_j=\delta_{ij}</math> ([[ortonormálna báza|ortonormovanosť bázy]])
:<math>\textbf{e}_i\times\textbf{e}_j=\varepsilon_{ijk}\textbf{e}_k</math> ([[pravotočivá báza|pravotočivosť bázy]])
:<math>\varepsilon_{ijk}=\varepsilon_{jki}=\varepsilon_{kij}</math> (vyplýva z antisymetričnosti [[Levi-Civitov tenzor|Levi-Civitovho tenzora]])
:<math>\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{mnk}=\delta_{im}\delta_{jn}-\delta_{in}\delta_{jm}</math> (Mnemotechnická pomôcka: Davis-cupová identita. Prvý deň hrál prvý s prvým a druhý s druhým, druhý deň prvý s druhým a druhý s prvým.)

:{| class="toccolours collapsible collapsed" width="60%" style="text-align:left"
!<math>\textbf{a}\times\left(\textbf{b}\times \textbf{c}\right)=\left(\textbf{a}\cdot \textbf{c}\right)\textbf{b}-\left(\textbf{a}\cdot \textbf{b}\right)\textbf{c}\,</math>
|-
|Pre <math>i</math>-tu zložku vektora vľavo dostávame
::{|
|<math>\left(\textbf{a}\times\left(\textbf{b}\times \textbf{c}\right)\right)_i\,</math>
|<math>=\varepsilon_{ijk}a_j\left(\textbf{b}\times\textbf{c}\right)_k</math>
|-
|
|<math>=\varepsilon_{ijk}a_j\varepsilon_{klm}b_lc_m\,</math>
|-
|
|<math>=\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmk}a_jb_lc_m\,</math>
|}
Teraz využijeme "Davis-cupovú" identitu. 
::{|
|<math>\left(\textbf{a}\times\left(\textbf{b}\times \textbf{c}\right)\right)_i\,</math>
|<math>=\left(\delta_{il}\delta{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}\right)a_jb_lc_m</math>
|-
|
|<math>\stackrel{(1)}{=}a_jb_ic_j-a_jb_jc_i</math>
|-
|
|<math>=\left(\textbf{a}\cdot\textbf{c}\right)b_i-\left(\textbf{a}\cdot\textbf{b}\right)c_i</math>
|}
V úprave (1) sme použili [[ortonormovaná báza|ortonormovanosť bázy]], teda <math>\delta_{ij}v_i=v_j</math>. Dospeli sme k rovnosti dvoch vektorov v <math>i</math>-tej zložke. Index <math>i</math> ale môže nadobúdať hociktorú z hodnôt 1,2,3, to znamená že vektory sa rovnajú v každej zložke. Tým dostávame dokazovanú identitu.
|}

:{| class="toccolours collapsible collapsed" width="60%" style="text-align:left"
!<math>\left(\textbf{a}\times\textbf{b}\right)\cdot\left(\textbf{c}\times \textbf{d}\right)=\left(\textbf{a}\cdot \textbf{c}\right)\left(\textbf{b}\cdot\textbf{d}\right)-\left(\textbf{a}\cdot \textbf{d}\right)\left(\textbf{b}\cdot\textbf{c}\right)\,</math>
|-
|V Einsteinovej sumačnej konvencii dostávame pre tento skalárny súčin
::{|
|<math>\left(\textbf{a}\times\textbf{b}\right)\cdot\left(\textbf{c}\times \textbf{d}\right)\,</math>
|<math>=\left(\textbf{a}\times\textbf{b}\right)_i\left(\textbf{c}\times \textbf{d}\right)_i</math>
|-
|
|<math>=\varepsilon_{ijk}a_jb_k\varepsilon_{ilm}c_ld_m,</math>
|-
|
|<math>=\varepsilon_{jki}\varepsilon_{lmi}a_jb_kc_ld_m\,</math>
|}
Teraz využijeme "Davis-cupovú" identitu. 
::{|
|<math>\left(\textbf{a}\times\textbf{b}\right)\cdot\left(\textbf{c}\times \textbf{d}\right)\,</math>
|<math>=\left(\delta_{jl}\delta{km}-\delta_{jm}\delta_{kl}\right)a_jb_kc_ld_m</math>
|-
|
|<math>=a_jb_kc_jd_k-a_jb_jc_kd_j</math>
|-
|
|<math>=\left(\textbf{a}\cdot\textbf{c}\right)\left(\textbf{b}\cdot\textbf{d}\right)-\left(\textbf{a}\cdot \textbf{d}\right)\left(\textbf{b}\cdot\textbf{c}\right)</math>
|}
|}

:{| class="toccolours collapsible collapsed" width="60%" style="text-align:left"
!<math>\nabla\times\nabla\times\textbf{A}=\nabla\left(\nabla\cdot\textbf{A}\right)-\triangle\textbf{A}\,</math>
|-
|Pre <math>i</math>-tu zložku vektora vľavo platí
::{|
|<math>\left(\nabla\times\nabla\times\textbf{A}\right)_i\,</math>
|<math>=\varepsilon_{ijk}\partial_j\left(\nabla\times\textbf{A}\right)_k</math>
|-
|
|<math>=\varepsilon_{ijk}\partial_j\varepsilon_{klm}\partial_lA_m,</math>
|}
Keďže <math>\varepsilon_{klm}</math> je konštanta, možno ho vybrať pred operátor derivácie <math>\partial_j</math>. Ďalej využijeme "Davis-cupovú" identitu.
::{|
|<math>\left(\nabla\times\nabla\times\textbf{A}\right)_i\,</math>
|<math>=\left(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}\right)\partial_j\partial_lA_m</math>
|-
|
|<math>=\partial_j\partial_iA_i-\partial_j\partial_jA_i</math>
|}
Poradie derivácii možno zameniť, preto možno prvý člen ešte upraviť.
::{|
|<math>\left(\nabla\times\nabla\times\textbf{A}\right)_i\,</math>
|<math>=\partial_i\left(\nabla\cdot\textbf{A}\right)-\left(\triangle\textbf{A}\right)_i</math>
|-
|
|<math>=\left(\nabla\left(\nabla\cdot\textbf{A}\right)\right)_i-\left(\triangle\textbf{A}\right)_i</math>
|}
Vidíme, že ľavá a pravá strana sa rovnajú vo všetkých zložkách. To znamená, že dokazovaná identita platí.
|}

== Fyzikálne aplikácie ==
Vo fyzike sa stretneme s Einsteinovou sumačnou konvenciou veľmi často, špeciálne tam, kde sa veľa narába s tenzormi. Uvedieme niekoľko príkladov:

*'''[[Hookov zákon]]''' v tenzorovom tvare
:<math>\sigma_{ij}=c_{ijkl}\varepsilon_{kl},</math>
kde <math>\sigma{ij}</math> je [[tenzor napätia]], <math>\varepsilon_{kl}</math> [[tenzor deformácie]] a tenzor <math>c_{ijkl}</math> je tenzor vyjadrúci [[tuhosť]] prostredia. Má <math>3^4=81</math> komponent, z ktorých (vzhľadom na symetrie) je v najhoršom prípade 21 nezávislých.


*'''[[Cauchyho rovnica dynamickej rovnováhy]]''' obsahujúca [[divergencia|divergenciu]] [[tenzor|tenzora]] sa dá pohodlne prepísať ako
:<math>\varrho\left(\partial_tv_i+v_i\partial_jv_j\right)=\partial_j\sigma_{ij}+f_i</math>,
kde <math>\partial_t</math> označuje parciálnu deriváciu podľa času a teda <math>t</math> neznamená voľný index.


*'''[[Christoffelove symboly]]''' (druhého druhu) sú definované pomocou [[metrický tenzor|metrického tenzora]] predpisom
: <math>\Gamma^i_{jk}=\frac{1}{2}g^{il}\left(g_{lj,k}+g_{lk,j}-g_{jk,l}\right),</math>
kde index za čiarkou v dolnom indexe symbolizuje deriváciu podľa príslušnej súradnice.


*'''Riemannov [[tenzor krivosti]]''' sa vyjadruje cez Christoffelove symboly vzťahom
: <math>R^i_{\,jkl}=\Gamma^i_{jl,k}-\Gamma^i_{jk,l}+\Gamma^m_{jl}\Gamma^i_{mk}-\Gamma^m_{jk}\Gamma^i_{ml}</math>

== Referencie ==
*M. Fecko: Sylabus k prednáškam z teoretickej mechaniky: http://davinci.fmph.uniba.sk/~fecko1/teormech/primech13.pdf
*M. Fecko: ''Diferenciálna geometria a Lieove grupy pre fyzikov''. Vydavateľstvo Iris, Bratislava, 2008.

[[Kategória:Lineárna algebra]]
[[Kategória:Eponymické termíny v matematike]]