Zobrazenie zdroja stránky Cauchyho veta o strednej hodnote

'''Cauchyho veta o strednej hodnote''' alebo '''Cauchyho veta o prírastku funkcie''' je [[matematika|matematická]] veta v [[diferenciálny počet|diferenciálnom počte]] pomenovaná podľa [[Augustin Louis Cauchy|Augustina Louisa Cauchyho]].

== Znenie vety<ref name="kubacek">[http://www.iam.fmph.uniba.sk/skripta/kubacek_inf/ Kubáček, Z.: ''Matematická analýza pre informatikov.'']</ref> ==

Nech, <math>f,g:\ \langle a,b\rangle \to \mathbb{R}</math> sú [[zobrazenie (matematika)|funkcie]], pre ktoré platí:
#sú spojité na ''<a,b>'',
#v každom bode z intervalu ''(a,b)'' majú vlastnú alebo nevlastnú [[derivácia (funkcia)|deriváciu]].
Potom existuje bod <math>c \in (a,b)</math> tak, že platí

:<math>f'(c)(g(b) - g(a)) = g'(c)(f(b) - f(a)). \,</math>

Ak navyše platia podmienky:
#<math>g(b) \neq g(a)</math>,
#<math>\forall x \in (a,b): g'(x) = 0 \Rightarrow f'(x) \neq 0</math>,
potom možno uvedenú rovnosť prepísať ako

:<math>\frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}.</math>

== Dôkaz<ref name="kubacek"/><ref name="neubrunn">Neubrunn, T., Vencko, J.: ''Matematická analýza I.'' Univerzita Komenského v Bratislave, 1992.</ref>==

Definujme

:<math>F(x) := f(x)(g(b) - g(a)) - g(x)(f(b) - f(a)). \,</math>

[[Zobrazenie (matematika)|Funkcia]] ''F(x)'' spĺňa predpoklady [[Lagrangeova veta o strednej hodnote|Lagrangeovej vety o strednej hodnote]], a preto existuje <math>c \in (a,b)</math> tak, že

:<math>F'(c) = \frac{F(b) - F(a)}{b - a}.</math>

Keďže ale platí ''F(a) = F(b)'', musí platiť ''F'(c) = 0'', čo dosadením do vzorca pre [[derivácia (funkcia)|deriváciu]] ''F'' v bode ''c'' implikuje

:<math>f'(c)(g(b) - g(a)) - g'(c)(f(b) - f(a)) = 0, \,</math>

z čoho už priamo plynie prvá časť dokazovaného tvrdenia.

Na to, aby bolo možné prepísať rovnosť do ekvivalentného tvaru, musí platiť <math>g(a) \neq g(b)</math>, ako aj <math>g'(c) \neq 0</math>. Prvá z podmienok je zaručená v predpokladoch vety, ostáva ukázať, že z predpokladu <math>\forall x \in (a,b): g'(x) = 0 \Rightarrow f'(x) \neq 0</math> vyplýva <math>g'(c) \neq 0</math>. Ale keby platilo <math>g'(c) = 0</math>, muselo by podľa dokázaného vzťahu platiť <math>f'(c)(g(b) - g(a)) = 0</math>, čo ale nie je možné, keďže oba činiteľe sú z predpokladov vety nenulové.

== Referencie ==

<references />

== Pozri aj ==

* [[Lagrangeova veta o strednej hodnote]]
* [[Rollova veta o strednej hodnote]]

[[Kategória:Diferenciálny počet]]
[[Kategória:Eponymické termíny v matematike]]
[[Kategória:Portál:Matematika/Zapojené články]]