Päťuholník

Šablóna:Infobox Mnohouholník Päťuholník alebo pentagón je jeden zo základných rovinných geometrických útvarov; mnohouholník s piatimi vrcholmi a stranami. Súčet jeho vnútorných uhlov je presne 540° (3π). Päťuholníky môžu byť pravidelné alebo všeobecné

Matematické vzťahy

Pre pravidelný päťuholník

Obsah	$S=\frac{a^2\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{4}$
Opísaná kružnica	$r_o=a\cdot \sqrt{\frac{2}{5-\sqrt{5}}}$
Vpísaná kružnica	$r_v=\frac{a}{2\sqrt{5-2\sqrt{5}}}$
Uhlopriečka	$l_u=\frac{a}{2}\left(1+\sqrt{5}\right)$ (zlatý rez)
Výška	$h=r_u+r_i=\frac{a}{2}\sqrt{5+2\sqrt{5}}$
Obvod	$u=5\cdot a$
Uhol ramien	$\sum \alpha =(n-2)\cdot 180^{\circ }=3\cdot 180^{\circ }=540^{\circ }$

Obsah inak

$S=5\cdot \frac{1}{2}\cdot a\cdot \tan 54^{\circ }\cdot \frac{a}{2}=\frac{5}{4}\cdot a^2\cdot \tan 54^{\circ }\approx a^2\cdot 1,7204774.$

$S=\frac{5}{8}\cdot r_o^2\cdot \sqrt{10+2\sqrt{5}}$

tiež

$S=\frac{5}{2}\cdot r_o^2\cdot \sin 72^{\circ }\approx r_o^2\cdot 2,3776413.$

strana a

$a=2\cdot r_o\cdot \cos 54^{\circ }$

tiež

$a=r_o\cdot \sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{2}}\approx r_o\cdot 1,1755705.$

Vlastnosti

Vnútorný päťuholník vymedzený uhlopriečkami

Pomer dĺžok uhlopriečky a strany je rovný zlatému rezu

Jedna uhlopriečka pretína druhú tak, že dĺžky vzniknutých častí sú v pomere zlatého rezu

Uhlopriečky pravidelného 'päťuholníka v jeho vnútri vymedzujú oblasť, ktorá má taktiež tvar pravidelného päťuholníka.

Vnútorné a vonkajšie päťuholníky majú rovnaký stred (geometria), sú opačne orientované a dĺžky ich strán sú v pomere $1:1-\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

História

Pravidelný päťuholník vždy hral významnú úlohu v mystike a symbolike. Od pravidelného päťuholníka je tiež odvodený symbol pentagramu, využívaný v pythagorejské sekte ako poznávací znak. Jedným z dôvodov, prečo bol pravidelný päťuholník uctievaný, bolo zrejme to, že sa v ňom hneď na niekoľkých miestach ukazuje "najdokonalejší pomer" - zlatý rez.

Konštrukcia

Konštrukcia pravidelného päťuholníka bola známa už v starovekom Grécku.
Jedna z metód zostavenia pravidelného päťuholníka:

Konštrukcia pravidelného päťuholníka