Princíp najmenšieho účinku

Princíp najmenšieho účinku je variačný princíp, podľa ktorého sa mechanický systém vyvíja takým spôsobom, ktorý minimalizuje účinok. Viedol k vytvoreniu Lagrangeovskej a Hamiltonovskej formulácie klasickej mechaniky. Tento princíp zrejme prvýkrát formuloval francúzsky fyzik Pierre-Louis Moreau de Maupertuis v rokoch 1744 a 1746. Podobné myšlienky však boli v rámci optiky rozvíjané už v starovekom Grécku, dnes ich poznáme (v omnoho presnejšej podobe) pod názvom princíp najkratšieho času.

Matematická formulácia

Účinok pre systém v klasickej mechanike je definovaný vzťahom

$𝒮[𝐪(t)]=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}L[𝐪(t),\dot{𝐪}(t),t]\mathrm{d}t,$

kde $t$ je čas, $𝐪$ sú súradnice popisujúce stav systému a $L[𝐪(t),\dot{𝐪}(t),t]$ je Lagranžián systému závisiaci od času $t$, súradníc $𝐪(t)$ a rýchlostí $\dot{𝐪}(t)$. Bodkou tu značíme deriváciu veličiny podľa času. Tento Lagranžián je pritom definovaný ako rozdiel kinetickej a potenciálnej energie. Teda napríklad pre bodovú časticu v gravitačnom poli s intenzitou $g$ v smere osi $z$ je to

$L=\frac{1}{2}m({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2+{\dot{z}}^2)-mgz.$