Poradie aritmetických operácií

Príklad poradia aritmetických operácií.

Poradie aritmetických operácií je v matematike súbor pravidiel, ktoré vychádzajú z celosvetovej konvencie týkajúcej sa toho, ktoré operácie majú prednosť pred inými, aby sa vyhodnotil (vypočítal) matematický výraz. Tieto pravidlá prešli dlhým a zložitým historickým vývojom a ani v súčasnosti nie sú mnohé pravidlá ustálené. Používa sa aj výraz priorita alebo precedencia.

Precedencia je predmetom vzájomnej dohody a nedá sa matematicky odvodiť ani dokázať.

Poradie aritmetických operácií je rozdelené do štyroch základných krokov zoradených od operácií s najvyššou prioritou po operácie s najnižšou prioritou:

• (1.) Zátvorkové konštrukcie.
• (2.) Exponenty a funkcie všeobecne.
• (3.) Násobenie a delenie.
• (4.) Sčítanie a odčítanie.

Napríklad vyhodnotenie nasledujúceho výrazu má tieto poradia:

$\stackrel{4.krok}{\overbrace{2+\stackrel{3.krok}{\overbrace{28\times \stackrel{1.krok}{\overbrace{(3-1)}}}}+\stackrel{2.krok}{\overbrace{4^2}}}}$.

Zátvorkové konštrukcie

Pokiaľ matematický výraz obsahuje zátvorky tak výraz v zátvorkách má vo vyhodnocovaní prednosť podľa tu uvedených pravidiel. Ak sú vo výraze viaceré vnorené zátvorkové konštrukcie tak sa postupuje od najvnútornejších po najvonkajšie. Napríklad

$\stackrel{3.krok}{\overbrace{(\stackrel{2.krok}{\overbrace{(\stackrel{1.krok}{\overbrace{(1-2)}}\times \stackrel{1.krok}{\overbrace{(8+1)}})}}/2)}}$.

V cudzojazyčnej literatúre je možné sa stretnúť pri vnorených zátvorkách s použitím rôznych druhov zátvoriek. Vyššie uvedený príklad môže byť zapísaný aj ako $\{[(1-2)\times (8+1)]/2\}$. Typ zátvoriek však nemá vplyv na poradie vyhodnocovania.

Konvencia hovorí, že ak sa vo výraze nachádza zlomok, tak sa k nemu pristupuje ako k výrazu v zátvorkách. Napríklad:

$\frac{5}{4}÷8=\left(\frac{5}{4}\right)÷8$.

K čitateľovi a menovateli v zlomku sa pristupuje ako k výrazu v zátvorkách. Napríklad:

$\frac{5+9}{4-8}=\frac{(5+9)}{(4-8)}$.

Je prípustné, že sa pred zátvorkou vynecháva znak pre násobenie. Napríklad

$5(6÷4)=5\times (6÷4)=7.5$.

Platí zlaté pravidlo, že v prípade nejednoznačnosti alebo v prípade, že je nutné porušiť konvenciu priorít netreba zátvorkami šetriť.

Exponenty a funkcie všeobecne

Medzi operácie, ktoré sa vyhodnocujú ako prvé (s prihliadnutím na pravidlá zátvorkových konštrukcií) patria predovšetkým

• mocniny
• odmocniny
• faktoriály, goniometrické/cyklometrické funkcie, logaritmy atď.
• sumačné a produktové iterácie

Násobenie a delenie

Násobenie a delenie majú rovnakú prioritu nakoľko tu platí asociatívny zákon a majú prednosť pred sčítaním a odčítaním. Pokiaľ nie je výraz spresnený zátvorkami tak sa postupuje zľava doprava.

$\begin{array}{cc}(2\times 3)÷4=6÷4& =1.5\\ 2\times (3÷4)=2\times 0.75& =1.5\\ 2\times 3÷4& =1.5\\ \end{array}$.

Delenie je možné pokladať za násobenie prevrátenou hodnotou. Napríklad.

$8÷4=8\times \left(\frac{1}{4}\right)=8\times 0.25=2$.

Sčítanie a odčítanie

Analogicky platí to, čo pre násobenie a delenie:

$\begin{array}{cc}(2+3)-4=5-4& =1\\ 2+(3-4)=2+(-1)& =1\\ 2+3-4& =1\\ \end{array}$.

Odčítanie je možné pokladať za sčítanie so záporným číslom. Napríklad:

$7-3=7-(+3)=7+(-3)=4$.

Pozri aj

• aritmetika
• násobenie
• delenie
• sčítanie
• odčítanie