Koeficient špicatosti

Koeficient špicatostiŠablóna:Ref (iné názvy: koeficient strmosti, exces, exces rozdelenia (náhodnej premennej), koeficient excesu, zahrotenosť, zvyšok) je charakteristika rozdelenia náhodnej veličiny. Porovnáva dané rozdelenie pravdepodobnosti náhodnej veličiny s normálnym rozdelením. Zvykne sa označovať ${\gamma }_2$.Šablóna:Ref

Definícia

Nech $X$ je ľubovoľná náhodná premenná a nech jej stredná hodnota je $E(X)=\mu$ a disperzia je $D(X)={\sigma }^2$. Potom koeficient špicatosti je definovaný nasledovným podielom:Šablóna:Ref

${\gamma }_2=\frac{{\mu }_4(X)}{{[D(X)]}^2}-3$

Pričom ${\mu }_4$ označuje štvrtý centrálny moment náhodnej premennej $X$.

Vlastnosti

Je zrejmé, že môžu nastať tri prípady, a to:

• ${\gamma }_2=0$; v tomto prípade ide o normované normálne rozdelenie.

• ${\gamma }_2>0$; kladný koeficient špicatosti hovorí, že dané rozdelenie pravdepodobnosti je špicatejšie ako normálne rozdelenie.

• ${\gamma }_2<0$; v tomto prípade nastáva opačný prípad ako pri kladnej hodnote koeficientu špicatosti, teda dané rozdelenie pravdepodobnosti je plochšie ako normálne rozdelenie.

Výberový koeficient špicatosti

Výberový koeficient špicatosti je definovaný nasledovným vzťahom:

$g_2=\frac{m_4}{m_2^2}=n\frac{\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^4}{{(\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2)}^2}$,

kde $\bar{X}$ je výberový premier, $m_2$ je výberový rozptyl a $m_4$ je štvrtý výberový centrálny moment náhodnej premennej.

Poznámky

• Šablóna:PoznToto je klasický názov pre túto charakteristiku rozdelenia, no v poslednom čase ho niektorí odborníci označujú ako nie úplne vhodný či výstižný.
• Šablóna:PoznV niektorej literatúre sa zvykne používať aj označenie $\epsilon$ alebo ${\epsilon }_x$.
• Šablóna:PoznNamiesto takto definovanej charakteristiky sa v niektorých prípadoch definuje táto charakteristika nasledovne::

${\gamma }_2\prime =\frac{{\mu }_4(X)}{{[D(X)]}^2}$

Teda:

${\gamma }_2\prime ={\gamma }_2+3$

Zdroj a referencie

• Šablóna:Citácia knihy
• Šablóna:Citácia knihy
• Šablóna:Preklad