Hypotéza kontinua

Hypotéza kontinua tvrdí, že neexistuje množina X, ktorej mohutnosť je väčšia než je mohutnosť množiny prirodzených čísel a menšia než je mohutnosť reálnych čísel. Hypotézu kontinua sformuloval Georg Cantor.

Hypotéza kontinua bola veľkým orieškom pre matematikov 20. storočia. Na jej počiatku stála nasledovná úvaha:

Nech $\mathbb{N}$ je množina prirodzených čísel a $ℝ$ množina reálnych čísel. Klasickou Cantorovou diagonálnou metódou sa dá dokázať, že množina $\mathbb{N}$ je "subvalentná" množine $ℝ$, tj. má menšiu mohutnosť (kardinalitu, ľudovo "má menej prvkov"), značíme $|\mathbb{N}|<|ℝ|$ . Otázka znie, či existuje nejaká množina $X$, pre ktorú by platilo $|\mathbb{N}|<|X|<|ℝ|$, t. j. či existuje nejaká nespočítateľná množina, ktorá má menšiu mohutnosť než kontinuum (množina reálnych čísel). Hypotéza kontinua tvrdí, že množina $X$ neexistuje.

Kurt Gödel dokázal, že existencia takejto množiny sa nedá z axiómov Zermelo-Fraenkelovej teórie množín vyvrátiť.

Americký matematik P. Cohen dokázal, že hypotéza kontinua nezávisí od ostatných axióm teórie množín.

Šablóna:Teória množín