D’Alembertov operátor

D'Alembertov operátor alebo d'Alembertián je diferenciálny operátor nazvaný podľa Jeana Le Rond d'Alemberta. Je to špeciálny prípad Laplaceovho operátora pre štvorrrozmerný Minkowského priestor s metrikou $\mathrm{diag}(-1,1,1,1)$. Značí sa symbolom $◻$. Využíva sa v špeciálnej teórii relativity a elektromagnetizme.

d'Alembertov operátor v karteziánskych súradniciach je rovný

$◻f=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial (x_1{)}^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial (x_2{)}^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial (x_3{)}^2}-\frac{{\partial }^{2}f}{\partial (x_0{)}^2},$

alebo špeciálne pri použití súradníc (t,x,y,z)

$◻f={\eta }^{\mu \nu }{\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }f=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial t^2},$

V látkovom prostredí sa niekedy používa definícia

$◻f=\mathrm{\Delta }f-\mu \epsilon \frac{{\partial }^{2}f}{\partial t^2}=\mathrm{\Delta }f-\frac{N^2}{c^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial t^2},$

kde $\mu ,\epsilon$ sú magnetická permeabilita a elektrická permitivita daného materiálu a N je jeho index lomu.