Hausdorffova miera

Hausdorffova miera alebo Hausdorffova dimenzia alebo Hausdorffova-Besicovitchova dimenzia je, v matematike, nezáporné reálne číslo priradené nejakému metrickému priestoru. Hausdorffova miera generalizuje predstavu priestoru ako skutočného vektorového priestoru. Hausdorffova miera v v Euklidovskom priestore v jednom bode je nula, miera riadku je jedna ... miera fraktálu nadobúda číslo s desatinnými hodnotami. Existuje veľa priestorov, pre ktoré môže byť miera prirodzené číslo, ale tiež môže byť racionálne alebo iracionálne číslo. Táto koncepcia bola predstavená v roku 1918, matematikom Felixom Hausdorffom.

Hausdorffova miera (ďalej označená ${𝐇}^s$) je "dolnodimenzionalnou" mierou na ${ℝ}^n$, ktorá nám dovoľuje merať isté „veľmi malé“ podmnožiny ${ℝ}^n$. Základnou myšlienkou je, že množina $𝐀$ je "s-dimenzionálna" podmnožina množiny ${ℝ}^n$, kde platí $0<H^s(A)<\mathrm{\infty }$, i keď $𝐀$ je veľmi komplikovaná. ${𝐇}^s$ je definovaná ako výraz, ktorý obsahuje súčet priemerov dobrého mnohopočtného pokrytia.

Definícia Hausdorffovej miery

Definícia: Nech $𝐀\subset {ℝ}^n,0\le s<\mathrm{\infty },0<\delta \le \mathrm{\infty }$ definujeme:

$(i){𝐇}_{\delta }^s(A)=\inf \{\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\alpha (s)(\frac{diam(C_i)}{2}{)}^s|A\subset \underset{j=1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\cup }}{C}_j,diam(C_j)\le \delta \},$

kde

$\alpha (s)=\frac{{\pi }^{\frac{s}{2}}}{\mathrm{\Gamma }(\frac{s}{2}+1)}$

túto

$\mathrm{\Gamma }(r)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x}{x}^{r-1}dx,(0<r<\mathrm{\infty }),$

je obyčajná gamma funkcia.

$\mathbf{(}ii)$Pro $𝐀$ a $𝐬$ s vlastnosťami ako vyššie, definujeme:

$H^s(A)=\underset{\delta \to 0}{\lim }{H}_{\delta }^s(A)=\underset{\delta >0}{\sup }{H}_{\delta }^s(A)$ ${𝐇}^s$ nazývame s-dimenzionálnou Hausdorffovou mierou na ${ℝ}^n$.

Elementárne vlastnosti Hausdorffovej dimenzie

${𝐇}^s$ je Borelova regulárna miera pre $0\le s<\mathrm{\infty }$, nie je ale Radonova miera.

Z toho vyplýva toto:

$(i){𝐇}_{\delta }^s$ je miera.

$(ii){𝐇}^s$ je miera.

$(iii){𝐇}^s$ je Borelova miera.

Ďalšie zaujímavé vlastnosti:

$(i){𝐇}^0$ je čítacia miera.

$(ii){𝐇}^1={𝐋}^1$ na ${ℝ}^n$, kde ${𝐋}^1$ je Lebesgueova miera.

$(iii){𝐇}^s=0$ na ${ℝ}^n$ pre všetky $𝐬>𝐧$.

$(iv){𝐇}^s(\lambda A)={\lambda }^s{𝐇}^s(A)$ pre všetky $\lambda >0,A\subset {ℝ}^n$.

$(v){𝐇}^s(L(A))={𝐇}^s(A)$ pre všetky afinné izometrie $L:{ℝ}^n\to {ℝ}^n,A\subset {ℝ}^n$.

Literatúra

• Steven G. Krantz: Measure Theory and Fine Properties of Functions, CRC Press LLC, London 2000, ISBN 0-8493-7157-0.