Teória miery

Teória miery je oblasť matematiky, ktorá sa zaoberá z najvšeobecnejších hľadísk exaktným uchopením pojmu kvantity. Základným pojmom teórie je miera, ktorá zovšeobecňuje pojmy, ako dĺžka, plocha, či objem. Teória miery je úzko spätá s teóriou integrálu (preto sa často vyskytuje aj označenie Teória miery a integrálu) a tiež s teóriou pravdepodobnosti.

Miera

Miera je základným pojmom teórie miery. Z neformálneho pohľadu je miera zovšeobecnením pojmov dĺžka, obsah, objem] alebo počet (množstvo).

Definícia

Majme merateľný priestor $(X,\mathrm{\Sigma })$. Množinovú funkciu $\mu :\mathrm{\Sigma }\to ⟨0,\mathrm{\infty }⟩$ nazveme miera, ak spĺňa tieto podmienky:

• Miera prázdnej množiny je nulová: $\mu (\mathrm{\varnothing })=0$.
• Miera je vždy nezáporná: $\mathrm{\forall }A:\mu (A)\ge 0$
• σ-aditivita: Pre ľubovoľnú spočítateľnú postupnosť po dvoch disjunktných množinách $(A_i{)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }},A_i\in \mathrm{\Sigma }$ platí $\mu (\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (A_i).$

Trojicu $(X,\mathrm{\Sigma },\mu )$ potom nazývame priestor s mierou.

Vlastnosti miery

• $A\subseteq B\Rightarrow \mu (A)\le \mu (B)$
• Pre postupnosť množín $(A_i{)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$ platí: $\mu (\bigcup _1^{\mathrm{\infty }}{A}_i)\le \sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (A_i)$
• Pre postupnosť podmnožín $A_1\subseteq A_2\subseteq ...$ platí: $\mu (\bigcup _1^{\mathrm{\infty }}{A}_i)=\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mu (A_i)$
• Naopak pre postupnosť nadmnožín: $A_1\supseteq A_2\supseteq ...$ pokiaľ $\mu (A_1)<\mathrm{\infty }$ potom platí: $\mu (\bigcap _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i)=\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mu (A_i)$

Príklady mier

• Diracova miera ${\delta }_a$: Nech X je neprázdna množina a a jej prvok. Diracova miera ${\delta }_a$ je definovaná na σ-algebre P(X) všetkých podmnožín množiny X predpisom:

${\delta }_a(A)=\{\begin{array}{c}\text{0 pokiaľ }a\notin A\\ \text{1 pokiaľ }a\in A\end{array}$

• Aritmetická miera
• Lebesgueova miera
• Hausdorffova miera
• Lebesgue-Stieltjesove miery