Päťuholník

Šablóna:Infobox Mnohouholník Päťuholník alebo pentagón je jeden zo základných rovinných geometrických útvarov; mnohouholník s piatimi vrcholmi a stranami. Súčet jeho vnútorných uhlov je presne 540° (3π). Päťuholníky môžu byť pravidelné alebo všeobecné

Matematické vzťahy

Pre pravidelný päťuholník

Obsah	$S = \frac{a^{2} \sqrt{25 + 10 \sqrt{5}}}{4}$
Opísaná kružnica	$r_{o} = a \cdot \sqrt{\frac{2}{5 - \sqrt{5}}}$
Vpísaná kružnica	$r_{v} = \frac{a}{2 \sqrt{5 - 2 \sqrt{5}}}$
Uhlopriečka	$l_{u} = \frac{a}{2} (1 + \sqrt{5})$ (zlatý rez)
Výška	$h = r_{u} + r_{i} = \frac{a}{2} \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}$
Obvod	$u = 5 \cdot a$
Uhol ramien	$\sum α = (n - 2) \cdot 18 0^{\circ} = 3 \cdot 18 0^{\circ} = 54 0^{\circ}$

Obsah inak

S = 5 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot \tan 5 4^{\circ} \cdot \frac{a}{2} = \frac{5}{4} \cdot a^{2} \cdot \tan 5 4^{\circ} \approx a^{2} \cdot 1, 7204774 .

S = \frac{5}{8} \cdot r_{o}^{2} \cdot \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}

tiež

S = \frac{5}{2} \cdot r_{o}^{2} \cdot \sin 7 2^{\circ} \approx r_{o}^{2} \cdot 2, 3776413 .

strana a

a = 2 \cdot r_{o} \cdot \cos 5 4^{\circ}

tiež

a = r_{o} \cdot \sqrt{\frac{5 - \sqrt{5}}{2}} \approx r_{o} \cdot 1, 1755705 .

Vlastnosti

Vnútorný päťuholník vymedzený uhlopriečkami

Pomer dĺžok uhlopriečky a strany je rovný zlatému rezu

Jedna uhlopriečka pretína druhú tak, že dĺžky vzniknutých častí sú v pomere zlatého rezu

Uhlopriečky pravidelného 'päťuholníka v jeho vnútri vymedzujú oblasť, ktorá má taktiež tvar pravidelného päťuholníka.

Vnútorné a vonkajšie päťuholníky majú rovnaký stred (geometria), sú opačne orientované a dĺžky ich strán sú v pomere

1 : 1 - \frac{\sqrt{5} - 1}{2}

.

História

Pravidelný päťuholník vždy hral významnú úlohu v mystike a symbolike. Od pravidelného päťuholníka je tiež odvodený symbol pentagramu, využívaný v pythagorejské sekte ako poznávací znak. Jedným z dôvodov, prečo bol pravidelný päťuholník uctievaný, bolo zrejme to, že sa v ňom hneď na niekoľkých miestach ukazuje "najdokonalejší pomer" - zlatý rez.

Konštrukcia

Konštrukcia pravidelného päťuholníka bola známa už v starovekom Grécku.
Jedna z metód zostavenia pravidelného päťuholníka:

Iné projekty

Šablóna:Projekt

Šablóna:Pravidelné mnohouholníky