Špicaté teleso

Šablóna:Infobox Objemové teleso Špicaté teleso je teleso so základňou, kde všetky body na obvode sú spojené s vrcholom, kde:

$S_b$ je plocha základne naspodku (najväčšia)

v je výška vrcholu od základne (kolmá).

Objem

Objem sa počíta tak, že naše teleso rozsekáme po výške (os y) na tenké plátky s hrúbkou $dy$ a tie zintegrujeme dokopy integrálom

$V=\underset{0}{\overset{v}{\int }}S(y)dy$
kde $S(y)=S_b.(1-\frac{y}{v}{)}^2=S_b.(1-\frac{2.y}{v}+\frac{y^2}{v^2})$

potom

$V=S_b\underset{0}{\overset{v}{\int }}(1-\frac{2.y}{v}+\frac{y^2}{v^2})dy=S_b.[y-\frac{2.y^2}{2v}+\frac{y^3}{3.v^2}{]}_0^v=S_b.(v-\frac{2.v^2}{2v}+\frac{v^3}{3.v^2}-0)=S_b.(v-v+\frac{v}{3})$

z toho vyplýva, že

$V=S_b.\frac{1}{3}v$

a vidíme, že je úplne jedno, aký tvar má základňa, a kde je vrchol, dôležité je len, v akej kolmej výške od základne sa vrchol nachádza, a môže byť aj mimo základne alebo nad ňou alebo hocikde.

Povrch

Povrch vypočítame tak, že sčítame povrch základne a plášťa. Povrch plášťa zase tak, že obvod základne rozdelíme na bodíky s hrúbkou $di$ a dĺžkou L(i),

kde L(i) je dĺžka spojnice bodíka $di$ a vrcholu.

$P=\underset{0}{\overset{l}{\int }}L(i)di$