Lebesgueova veta

Lebesgueho veta prípadne Lebesgueova veta o zámene limity a integrálu je matematická veta z teórie lebesueovho integrálu umožňujúca zámenu limitného procesu a integrálu pri integrácii konvergujúcej postupnosti funckii. Vďaka relatívne malým restrikciám na postupnosť funkcii predstavuje silný nástroj na počítanie.

Znenie vety

Nech funkcie $f_n(x)$ sú merateľné v$M$ a$f_n(x)\to f(x)$ pre skoro všetky $x\in 𝐌$ a nech existuje funkcia

$g(x)\in L(M)$ (tzn.:lebesueovsky integrovatľná na M) taká, že:$|f_n(x)|\le g(x)$ pre $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$ a pre skoro všetky $x\in 𝐌$.

Potom $f(x)\in L(M)$ a platí :$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{M}{\int }{f}_n(x)=\underset{M}{\int }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(x)=\underset{M}{\int }f(x)$ .

Poznámka

• Funkcii $g(x)$ sa hovorí integrovateľná majoranta a jej existencia je často pri výpočte jediný predpoklad, ktorý je tažké overiť.
• Existuje aj verzia tejto vety pre rady funkcií.

Referencie

• http://mathworld.wolfram.com/LebesguesDominatedConvergenceTheorem.html