Ťažisko (fyzika)

Ťažisko alebo hmotný stred je pôsobisko tiažovej sily pôsobiacej na teleso. Distribúcie hmotnosti v priestore je pre túto distribúciu unikátny bod, v ktorom je vážený priemer relatívnych pozícií distribuovanej hmotnosti rovný nule, alebo bod, do ktorého ak umiestnime pôsobisko sily, sa bude pohybovať len translačným pohybom po vektorovej priamke tejto sily. V zjednodušenej predstave je to bod, ktorý sa pohybuje, ako keby v ňom bola sústredená celá hmotnosť sústavy a pôsobili v ňom všetky sily pôsobiace na sústavu. V homogénnom gravitačnom alebo zotrvačnom poli môžeme všetky gravitačné a zotrvačné sily pôsobiace na dokonale tuhé teleso nahradiť jedinou silou pôsobiacou v ťažisku.

Definícia

Ťažisko $\overrightarrow{T}$ sústavy hmotných bodov je rovnaké ako vážený priemer ich polôh $\overrightarrow{r_i}$, kde váhou jednotlivých zložiek sú ich hmotnosti.

$\overrightarrow{T}=\frac{\sum m_i\overrightarrow{r_i}}{M}$

Kde $M=\sum m_i$ je celková hmotnosť sústavy.

Vlastnosti

Ťažisko telesa (čierny bod) sa nachádza na priesečníku polpriamok (modré polpriamky) pod bodom zavesenia (červený bod).

Poloha ťažiska závisí od rozloženia látky v telese. Ak teleso podoprieme na hrote ihly, musí byť ťažisko nad hrotom (alebo pod hrotom), inak teleso spadne. Najjednoduchší spôsob zistenia ťažiska je narysovanie uhlopriečok pri homogénnych pravidelných rovinných útvaroch. Univerzálny spôsob je útvar zavesiť na bezmomentový záves, napríklad na niť. Potom sa útvar sa natočí tak, že ťažisko sa bude nachádzať na polpriamke pod závesom, smerom dole (v smere gravitačného zrýchlenia). Ak zavesíme teleso na dve rôzne miesta mimo ťažiska, tieto polpriamky sa pretnú v ťažisku.

Pre plošné homogénne útvary (napr. polkruh) tvoriace rotáciou okolo priamky známe rotačné telesá (napr. guľu), vieme vypočítať polohu ťažiska využitím Guldinových viet.

Ťažisko zjednotenia niekoľkých sústav

Ak máme n sústav hmotných bodov s celkovými hmotnosťami $M_1,M_2,\dots ,M_n$ a s ťažiskami $\overrightarrow{T_1},\overrightarrow{T_2},\dots ,\overrightarrow{T_n}$, výsledné ťažisko zjednotenia týchto sústav má rovnakú polohu, ako poloha ťažiska sústavy n hmotných bodov nachádzajúcich sa v ťažiskách jednotlivých sústav majúcich hmotnosti zodpovedajúce celkovým hmotnostiam sústav. Táto dôležitá vlastnosť ťažiska plynie z vlastností váženého aritmetického priemeru a pomáha nám určiť polohy ťažísk zložitejších telies.

Pohyb ťažiska

Poloha ťažiska spĺňa rovnicu:

$\overrightarrow{T}=\frac{\sum m_i\overrightarrow{r_i}}{M}$

Derivovaním oboch strán rovnice podľa času dostávame:

$\overrightarrow{v}=\frac{\sum m_i\overrightarrow{v_i}}{M}$

$\overrightarrow{a}=\frac{\sum m_i\overrightarrow{a_i}}{M}$

S využitím odvodených rovníc je možné odvodiť, že ťažisko sústavy sa pohybuje, ako keby v ňom bola sústredená celá hmotnosť sústavy a pôsobili v ňom všetky sily pôsobiace na sústavu. Odvodenie nájdete v článku o sile.

Kde $\overrightarrow{v_i},\overrightarrow{a_i}$ sú rýchlosti a zrýchlenia jednotlivých bodov a $\overrightarrow{v},\overrightarrow{a}$ je rýchlosť a zrýchlenie ťažiska.

Pôsobisko gravitačnej a zotrvačnej sily v homogénnom poli

Na všetky body telesa pôsobia gravitačná aj zotrvačná sila v rovnakom smere a ich veľkosť je úmerná hmotnosti daného bodu. Ide teda o skladanie rovnobežných síl a pôsobisko výslednice dostaneme v bode:

$\overrightarrow{R}=\frac{\sum \overrightarrow{F_i}\overrightarrow{r_i}}{\overrightarrow{F}}$

Kde $\overrightarrow{F}=\sum \overrightarrow{F_i}$. Keďže sú však sily pôsobiace na jednotlivé elementy tuhého telesa úmerné ich hmotnostiam, prejde rovnica do tvaru:

$\overrightarrow{R}=\frac{\sum m_i\overrightarrow{r_i}}{M}$

Čo je rovnica ťažiska. V homogénnom poli môžeme gravitačné a zotrvačné sily pôsobiace na jednotlivé elementy tuhého telesa nahradiť jednou silou, ktorej veľkosť bude úmerná celkovej hmotnosti telesa a pôsobisko bude mať v ťažisku.