Zlomok (matematika)

Torta, z ktorej bola odrezaná jedna štvrtina. Každá zo zvyšných troch štvrtín je označená zlomkom $\frac{1}{4}$.

Grafické znázornenie výpočtu $\frac{1}{4}+\frac{2}{4}=\frac{3}{4}$

Zlomok označuje v matematike spôsob zápisu racionálneho čísla.

Zlomok sa zapisuje v tvare $\frac{a}{b}$ alebo $a/b$, kde $a$ a $b$ sú celé čísla, pričom $b\ne 0$, pretože nulou sa deliť nesmie. Číslo $a$ sa nazýva čitateľ, číslo $b$ sa nazýva menovateľ a čiara medzi nimi sa nazýva zlomková čiara.

Zápis pomocou zlomkov je vhodný na prevádzanie elementárnych úprav zložitejších výrazov.

Vlastnosti

Zlomok, ktorý má v menovateli nulu nie je v matematike definovaný.

Hodnota zlomku, ktorý má v čitateli nulu je vždy nulová, napr. $\frac{0}{a}=0$.

Zlomok, ktorý má v menovateli jednotu sa rovná výrazu v čitateľovi. Napríklad

$\frac{a}{1}=a;\frac{\text{sin}(x)}{1}=\text{sin}(x);\frac{e^n}{1}=e^n$ a pod.

Zlomok, ktorý má v čitateli jednotu je prevrátená hodnota výrazu v menovateli. Napríklad

$\frac{1}{a}=a^{-1};\frac{1}{\text{sin}(x)}={\text{sin}}^{-1}(x);\frac{1}{e^n}=(e^n{)}^{-1}$ a pod.

Pokiaľ je v zlomku $\frac{a}{b}$ čitateľ menší ako menovateľ $(a<b)$ hovoríme o tzv. pravom zlomku, pre ktorý platí $\frac{a}{b}<1$.

Pokiaľ je v zlomku $\frac{a}{b}$ čitateľ väčší ako menovateľ $(a>b)$ hovoríme o tzv. nepravom zlomku, pre ktorý platí $\frac{a}{b}>1$.

Pokiaľ sú v zlomku $\frac{a}{b}$ hodnoty čitateľa a menovateľa rovnaké $(a=b)$ hovoríme o tzv. jednotkovom zlomku, pre ktorý platí $\frac{a}{b}=1$. Napríklad

$\frac{11}{11}=\frac{3^3}{27}=\frac{4!}{24}=1$.

Dva zlomky $\frac{a}{b}$ a $\frac{c}{d}$ majú rovnakú hodnotu vtedy a len vtedy, keď $ad=bc$ (tzn. ich podiel je 1).

Hodnota zlomku so záporným čitateľom aj záporným menovateľom je vždy kladná, napr. $\frac{-2}{-4}=0.5$.

Hodnota zlomku so záporným čitateľom a kladným menovateľom (alebo kladným čitateľom a záporným menovateľom) je vždy záporná, napr. $\frac{-2}{4}=\frac{2}{-4}=-\left(\frac{2}{4}\right)=-0.5$.

Ako základný tvar zlomku sa označuje zlomok, ktorý sa nedá viac krátiť bez toho, aby v menovateli alebo v čitateli nevznikli čísla s desatinným rozvojom respektíve základný tvar zlomku je taký zlomok, ktorého čitateľ a menovateľ nemajú spoločného celočíselného deliteľa. Napríklad $\frac{2}{7}$ alebo $\frac{14}{9}$.

Ako dyadické zlomky sa označujú zlomky v tvare $\frac{a}{2^b}$ kde $a,b\in \mathbb{N}$, čiže v menovateli sa nachádza mocnina čísla dva.

Počítanie so zlomkami

So zlomkami sa dá pracovať ako s inými racionálnymi číslami, dajú sa teda sčítať, odčítať, násobiť a deliť, odmocňovať a umocňovať atď.

Sčítanie a odčítanie zlomkov, ak sú menovatele oboch zlomkov rovnaké, sa vykonáva podľa vzorca

$\frac{a}{c}\pm \frac{b}{c}=\frac{a\pm b}{c}$, $c\ne 0$,

ak sú menovatele rozdielne tak podľa vzorca

$\frac{a}{b}\pm \frac{c}{d}=\frac{ad\pm bc}{bd}$, $b,d\ne 0$.

Násobenie zlomkov, ak sú menovatele oboch zlomkov rovnaké, sa vykonáva podľa vzorca

$\frac{a}{c}\cdot \frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$, $c\ne 0$

ak sú menovatele rozdielne tak podľa vzorca

$\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$, $b,d\ne 0$.

Delenie zlomkov, ak sú menovatele oboch zlomkov rovnaké podľa vzorca

$\frac{a}{c}÷\frac{b}{c}=\frac{c(a÷b)}{c}$, $c\ne 0$.

ak sú menovatele rozdielne tak podľa vzorca

$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}$, $b,c,d\ne 0$.

Odmocňovanie celého zlomku je možné rozpísať ako samostatné odmocniny čitateľa a menovateľa

$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$, $b\ne 0$.

Umocňovanie celého zlomku je opäť možné rozpísať ako samostatné mocniny čitateľa a menovateľa

${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}$, $b\ne 0$.

Ak sa exponent $n=-1$ potom platí ${\left(\frac{a}{b}\right)}^{-1}=\frac{a^{-1}}{b^{-1}}=\frac{b}{a}$.

Krátenie a rozširovanie zlomkov

Každý zlomok je možné krátiť alebo rozširovať konštantou $c$ pričom sa nemení hodnota zlomku. Teda pre krátenie platí

$\frac{a}{b}=\frac{a÷c}{b÷c}$

a analogicky pre rozširovanie platí

$\frac{a}{b}=\frac{a\cdot c}{b\cdot c}$ .

Krátenie alebo rozširovanie zlomkov sa dá využiť na odstránenie čísel s desatinným rozvojom nachádzajúcich sa v zlomku a jeho prevedenie do základného tvaru. Napríklad

$\frac{3.2}{8}=\frac{3.2\cdot 5}{8\cdot 5}=\frac{16}{40}=\frac{16÷8}{40÷8}=\frac{2}{5}$.

Porovnávanie zlomkov

Porovnať dva zlomky a určiť, ktorý z nich je menší resp. väčší resp. či sú rovnaké je možné porovnaním ich čitateľov za predpokladu, že ich menovatele sú rovnaké. V prípade, že menovatele nie sú rovnaké je nutné jeden zo zlomkov upraviť tak, aby mal v menovateli rovnakú hodnotu ako druhý. Samotná zmena menovateľa sa robí podľa vzorca

$\frac{a}{b}=\frac{a\left(\frac{d}{b}\right)}{d}$

kde $d$ je hodnota nového menovateľa. Napríklad

$\begin{array}{cc}\frac{2}{5}& =\frac{2(8÷5)}{8}=\frac{2\cdot 1.6}{8}=\frac{3.2}{8}=0.4\\ & =\frac{2(3÷5)}{3}=\frac{2\cdot 0.6}{3}=\frac{1.2}{3}=0.4\\ & =\frac{2(5÷5)}{5}=\frac{2\cdot 1}{5}=\frac{2}{5}=0.4\\ \end{array}$.

Z vyššie uvedeného teda vyplýva, že $\frac{a}{b}<\frac{c}{d}$ platí len a iba vtedy ak platí aj $a\left(\frac{d}{b}\right)<c$, vice versa.

Pri prevádzaní zložitejších operácií na zlomky sa zlomok $a/b$ správa ako $a\cdot b^{-1}$, takže napríklad

$\log \left(\frac{a}{b}\right)=\log (a\cdot b^{-1})=\log a-\log b$