Fareyova postupnosť

Fareyova postupnosť $F_n$ je v matematike postupnosť čísel $\{f_1,f_2,\dots ,f_{n-1},f_n\}$ respektíve $\{\frac{a_1}{b_1},\frac{a_2}{b_2},\dots ,\frac{a_{n-1}}{b_{n-1}},\frac{a_n}{b_n}\}$ nachádzajúcich sa v obojstranne uzatvorenom intervale $⟨0,1⟩$ vyjadrených zlomkami $⟨\frac{0}{1},\frac{1}{1}⟩$, ktorá je tvorená vkladaním ďalšieho zlomku $\frac{a}{b}$ medzi dva už existujúce zlomky podľa vzorca

$\frac{a_n}{b_n}=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{b_{n-1}+b_{n+1}}$.

Počet vkladaní je určený rádom $n$ príslušnej fareyovej postupnosti. Existujú dve formy vkladania:

• limitovaná forma, pre ktorú platí, že sú do postupnosti zaraďované len tie a iba tie zlomky, ktorých menovateľ je menší alebo rovný danému rádu postupnosti, teda $b_n\le n$,
• nelimitovaná forma, pre ktorú sa vyššie uvedené pravidlo neberie do úvahy.

Postupnosť prvého rádu $F_1=\{\frac{0}{1},\frac{1}{1}\}$.

Príklad limitovanej formy:

$\begin{array}{cc}{F}_1& =\{\frac{0}{1},\frac{1}{1}\}\\ F_2& =\{\frac{0}{1},\frac{1}{2},\frac{1}{1}\}\\ F_3& =\{\frac{0}{1},\frac{1}{3},\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{1}{1}\}\\ F_4& =\{\frac{0}{1},\frac{1}{4},\frac{1}{3},\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{1}{1}\}\\ F_5& =\{\frac{0}{1},\frac{1}{5},\frac{1}{4},\frac{1}{3},\frac{2}{5},\frac{1}{2},\frac{3}{5},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5},\frac{1}{1}\}\\ \end{array}$.

Príklad nelimitovanej formy:

$\begin{array}{cc}{F}_1& =\{\frac{0}{1},\frac{1}{1}\}\\ F_2& =\{\frac{0}{1},\frac{1}{2},\frac{1}{1}\}\\ F_3& =\{\frac{0}{1},\frac{1}{3},\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{1}{1}\}\\ F_4& =\{\frac{0}{1},\frac{1}{4},\frac{1}{3},\frac{2}{5},\frac{1}{2},\frac{3}{5},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{1}{1}\}\\ F_5& =\{\frac{0}{1},\frac{1}{5},\frac{1}{4},\frac{2}{7},\frac{1}{3},\frac{3}{8},\frac{2}{5},\frac{3}{7},\frac{1}{2},\frac{4}{7},\frac{3}{5},\frac{5}{8},\frac{2}{3},\frac{5}{7},\frac{3}{4},\frac{4}{5},\frac{1}{1}\}\\ \end{array}$.

Pre každé tri po sebe idúce zlomky vo Fareyovej postupnosti $\frac{p}{q}$, $\frac{p^{\prime }}{q^{\prime }}$ a $\frac{p^{\prime \prime }}{q^{\prime \prime }}$ platia rovnice

$\begin{array}{cc}q{p}^{\prime }-p{q}^{\prime }& =1\\ \frac{p^{\prime }}{q^{\prime }}& =\frac{p+p^{\prime \prime }}{q+q^{\prime \prime }}\\ \end{array}$.

Napríklad pre zlomky $\frac{1}{2}$, $\frac{4}{7}$ a $\frac{3}{5}$ zo sekvencie $F_5=\{\dots ,f_9,f_{10},f_{11},\dots \}$ (nelimitovaná forma) platí

$\begin{array}{cc}2\cdot 4-1\cdot 7& =1\\ \frac{4}{7}& =\frac{1+3}{2+5}\\ \end{array}$.

Generalizovanie

Princíp Fareyovej postupnosti je možné aplikovať na dva akékoľvek zlomky, ktoré sú určené postupnosťou prvého rádu. Napríklad

$\begin{array}{cc}{F}_1& =\{\frac{13}{5},\frac{7}{4}\}\\ F_2& =\{\frac{13}{5},\frac{20}{9},\frac{7}{4}\}\\ F_3& =\{\frac{13}{5},\frac{33}{14},\frac{20}{9},\frac{27}{13},\frac{7}{4}\}\\ \end{array}$.