Portál:Matematika/Odporúčaný článok/24 2011

Riemannova guľa alebo Riemannova sféra, pomenovaná podľa Bernharda Riemanna, je matematický koncept umožňujúci rozšíriť Gaussovu rovinu komplexných čísel o bod reprezentujúci nekonečno takým spôsobom, že možno zmysluplne pracovať s výrazmi typu

$1/0=\mathrm{\infty }$.

Riemannova guľa sa niekedy označuje aj:

• Komplexná projektívna priamka, označovaná ${ℂ\mathbb{P}}^1$ alebo
• Rozšírená komplexná rovina, prípadne rozšírená Gaussova rovina, označovaná $\widehat{ℂ}$ alebo $ℂ\cup \{\mathrm{\infty }\}$.

Z čisto algebraického pohľadu, komplexné čísla s nevlastným bodom v nekonečne tvoria systém, ktorý býva označovaný ako rozšírené komplexné čísla. Ale aritmetika s nekonečnom sa neriadi zvyčajnými pravidlami, a preto takáto štruktúra netvorí pole. Výpočty na Riemannovej guli sa však z geometrického aj analytického pohľadu správajú rozumne aj v nekonečne.

Riemannova guľa je jednorozmerná komplexná varieta, nazývaná aj Riemannova plocha.

V komplexnej analýze sa Riemannova guľa používa najmä v teórii meromorfných funkcií. Veľmi často sa využíva v projektívnej a algebraickej geometrii, keďže je jedným zo základných príkladov komplexnej variety, projektívneho priestoru, ako aj algebraickej variety. Koncept Riemannovej gule tiež nachádza uplatnenie v nematematických odvetviach, ktoré využívajú matematickú analýzu a geometriu – predovšetkým v kvantovej mechanike a iných oblastiach fyziky.

Celý článok...