L’Hospitalovo pravidlo

L’Hospitalove pravidlá alebo L'Hôpitalove pravidlá (vyslovuje sa lopitalove) slúžia na výpočet limít tzv. neurčitých výrazov typu $\frac{0}{0}$ a $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$. Tieto pravidlá možno použiť tiež pri riešení neurčitých výrazov typu $0\cdot \mathrm{\infty }$, $0^0$, $1^{\mathrm{\infty }}$, ${\mathrm{\infty }}^0$ alebo $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$, ktoré však vhodnými úpravami prevádzame na neurčité výrazy typu $\frac{0}{0}$ alebo $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$.

Ako prvý tieto pravidlá zverejnil Guillaume de l’Hospital v roku 1692. Tieto pravidlá však pravdepodobne boli známe už Johannovi Bernoullimu.

Znenie vety

Ak máme funkcie $f(x),g(x)$, pre ktoré v bode c platí $\underset{x\to c}{\lim }f(x)=0$ a $\underset{x\to c}{\lim }g(x)=0$, potom v prípade, že existuje (vlastná alebo nevlastná) limita $\underset{x\to c}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$, platí

$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to c}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$

kde ${}^{\prime }$ označuje deriváciu funkcie.

Podobne v prípade, kedy máme funkcie $f(x),g(x)$, pre ktoré v bode c platí $\underset{x\to c}{\lim }f(x)=+-\mathrm{\infty }$ a $\underset{x\to c}{\lim }g(x)=+-\mathrm{\infty }$. Ak existuje (vlastná alebo nevlastná) limita $\underset{x\to c}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$, potom opäť platí vzťah

$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to c}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$

Uvedené l'Hospitalove pravidlá sú použiteľné aj v nevlastných bodoch.

Ak je $\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ v bode c opäť neurčitým výrazom, možno l’Hospitalove pravidlá použiť opakovane. Takto môžeme postupovať, dokiaľ nezískame nejaký výraz, ktorý nie je neurčitý.

Úprava výrazov pre použitie l’Hospitalovho pravidla

l’Hospitalove pravidlá sú definované len pre neurčité výrazy typu $\frac{0}{0}$ alebo $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$. Ostatné neurčité výrazy je nutné previesť na tento typ neurčitého výrazu.

Uvažujme ďalej funkcie $f(x),g(x)$, ktoré v bode c naberajú hodnôt 0 alebo $\mathrm{\infty }$.

• Ak $f(x)\cdot g(x)$ predstavuje v c výraz $0\cdot \mathrm{\infty }$, potom ho môžeme upraviť na $\frac{f(x)}{\frac{1}{g(x)}}$, čo je výraz typu $\frac{0}{0}$, alebo na $\frac{g(x)}{\frac{1}{f(x)}}$, čo je výraz typu $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$.
• Ak $f(x)-g(x)$ predstavuje v c výraz typu $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$, potom ho možno upraviť na $\frac{\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{f(x)}}{\frac{1}{f(x)\cdot g(x)}}$, čo je výraz typu $\frac{0}{0}$.
• Ak ${f(x)}^{g(x)}$ predstavuje v c výraz typu $0^0$, potom ho upravíme na ${f(x)}^{g(x)}={\mathrm{e}}^{g(x)\cdot \ln f(x)}$, kde v exponente je výraz $0\cdot \mathrm{\infty }$, ktorý možno ďalej upraviť na výraz $\frac{0}{0}$ alebo $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$. Pri riešení potom využijeme toho, že $\underset{x\to c}{\lim }{\mathrm{e}}^{g(c)\cdot \ln f(x)}={\mathrm{e}}^{\underset{x\to c}{\lim }[g(x)\cdot \ln f(c)]}$.
• Ak ${f(x)}^{g(x)}$ predstavuje v c výraz typu ${\mathrm{\infty }}^0$, potom ho upravíme na ${f(x)}^{g(x)}={\mathrm{e}}^{g(x)\cdot \ln f(x)}$, kde v exponente je výraz $0\cdot \mathrm{\infty }$, ktorý ďalej riešime rovnako ako v predchádzajúcom bode.
• Ak ${f(x)}^{g(x)}$ predstavuje v c výraz typu $1^{\mathrm{\infty }}$, potom ho upravíme na ${f(x)}^{g(x)}={\mathrm{e}}^{g(x)\cdot \ln f(x)}$, kde v exponente je výraz $\mathrm{\infty }\cdot 0$, ktorý ďalej riešime rovnaku ako v predchádzajúcom bode.

Príklady

• Výraz $\frac{\ln x}{x^3}$ predstavuje pre $x\to +\mathrm{\infty }$ neurčitý výraz typu $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$. Pomocou l’Hôpitalovho pravidla teda bude

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\ln x}{x^3}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\frac{1}{x}}{3x^2}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{3x^3}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{\mathrm{\infty }}=0$

• Neurčitý výraz typu $(0\cdot \mathrm{\infty })$ prevedieme úpravou súčinu f(x)g(x) na podiel $\frac{f(x)}{\frac{1}{g(x)}}$ alebo $\frac{g(x)}{\frac{1}{f(x)}}$ získame tak neurčitý výraz typu $\frac{0}{0}$ alebo $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$. Ten už určíme l’Hôspitalovým pravidlom.

$\underset{x\to 0_{+}}{\lim }(x\cdot \ln x)=\underset{x\to 0_{+}}{\lim }\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}=\underset{x\to 0_{+}}{\lim }\frac{(\ln x{)}^{\text{'}}}{(x^{-1}{)}^{\prime }}=\underset{x\to 0_{+}}{\lim }\frac{\frac{1}{x}}{-x^{-2}}=-\underset{x\to 0_{+}}{\lim }\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^2}}=-\underset{x\to 0_{+}}{\lim }x=0$

Pozri aj

• Limita
• Derivácia
• Priebeh funkcie
• Stolzova veta

Externé odkazy

• L’Hospitalovo pravidlo na www.math.sk