Zobrazenie zdroja stránky Topologický priestor

[[Image:Topological space examples.svg|frame|right|Štyri príklady topologických priestorov na [[množina|množine]] {1,2,3} a dva príklady štruktúr na tejto množine, ktoré nie sú topologické priestory. Príklad znázornený vľavo dole nie je topologický priestor, pretože v systéme podmnožín <math>\tau</math> sú síce množiny {2} a {3}, ale ich [[zjednotenie (matematika)|zjednotenie]] {2,3} chýba. Príklad vpravo dole nie je topologický priestor, pretože chýba množina {2}, ktorá je prienikom množín {1,2} a {2,3}.]]

'''Topologický priestor''' je [[matematika|matematická]] štruktúra, ktorá umožňuje formalizovať a zovšeobecniť koncepty ako [[konvergencia]], [[spojitá funkcia|spojitosť]], či [[kompaktná množina|kompaktnosť]]. Tieto sú definované na základe vzťahov medzi [[množina]]mi<ref>[http://www.britannica.com/EBchecked/topic/599680/topological-space "topological space."] [[Encyclopædia Britannica]]. [[2010]]. Encyclopædia Britannica Online. 10. jún 2010.</ref>, na rozdiel od [[metrický priestor|metrických priestorov]], kde sa definujú pomocou vzdialenosti. Topologické priestory sa ako formalizácia vyskytujú takmer vo všetkých oblastiach matematiky. Sú predmetom štúdia [[topológia|topológie]].

== Definícia ==

=== Klasická definícia ===

Topologický priestor je usporiadaná dvojica <math>(X, \tau)</math>, kde ''X'' je [[množina]] a <math>\tau</math>, ktorej prvky sa nazývajú aj [[otvorená množina|otvorené množiny]]<ref>Jänich, K.: ''Topology.'' Springer-Verlag, [[1984]], str. 5.</ref>, je množina [[podmnožina|podmnožín]] ''X'', pre ktorú sú splnené nasledujúce tri podmienky:
# [[Prázdna množina]] a množina ''X'' sú otvorené, teda 
#: <math>\emptyset \in \tau \qquad X \in \tau .</math>
# [[Zjednotenie (matematika)|Zjednotenie]] ľubovoľného počtu otvorených množín je otvorená množina, teda pre každé <math>S \subseteq \tau</math>:
#:<math>\bigcup_{Y \in S} Y \in \tau .</math>
# [[Prienik (matematika)|Prienik]] každých dvoch otvorených množín je otvorená množina, teda 
#:<math>A \in \tau\ \land\ B \in \tau \Rightarrow A \cap B \in \tau .</math>

Tretia podmienka je ekvivalentná s podmienkou, ktorá hovorí, že prienik ľubovoľného konečného počtu otvorených množín je otvorená množina.

Množina <math>\tau</math> sa nazýva aj ''topológia'' na množine ''X'', toto pomenovanie má však odlišný význam ako názov [[topológia]] v zmysle vedy o topologických priestoroch. Prvky množiny ''X'' sa zvyčajne nazývajú ''body'', podmnožiny ''X'' patriace do <math>\tau</math> sa nazývajú ''otvorené množiny'', každý [[Doplnok (množiny)|komplement]] otvorenej množiny sa nazýva ''[[uzavretá množina]]''.

Je dôležité si uvedomiť, že množina uzavretých množín v ''X'' nie je to isté ako <math>\tau^C</math>. Množina totiž môže byť otvorená aj uzavretá súčasne. Takýmito množinami sú napríklad <math>\emptyset</math> alebo ''X'', keďže sú komplementárne (pracuje sa s [[oblasť úvahy|univerzom]] ''X'') a zároveň otvorené (z definície topologického priestoru).

=== Definícia pomocou uzavretých množín ===

Použitím [[De Morganove zákony|de Morganových zákonov]] je možné jednoduchým spôsobom odvodiť ekvivalentnú definíciu topologického priestoru, ktorá namiesto podmienok na [[otvorená množina|otvorené množiny]] kladie podmienky na [[uzavretá množina|uzavreté množiny]]. Teda je možné povedať, že topologický priestor je usporiadaná dvojica <math>(X, \tau)</math>, kde ''X'', <math>\tau</math>, otvorené a uzavreté množiny sú definované rovnako ako vyššie, a kde platí:

# [[Prázdna množina]] aj množina ''X'' sú uzavreté.
# [[Zjednotenie (matematika)|Zjednotenie]] ľubovoľných dvoch uzavretých množín je uzavretá množina.
# [[Prienik (matematika)|Prienik]] ľubovoľného počtu uzavretých množín je uzavretá množina.

=== Definícia pomocou Kuratowského axióm uzavretosti ===

Inou možnosťou definície topologického priestoru (ktorá je však ekvivalentná s klasickou definíciou) je definícia topologickej štruktúry pomocou súborov [[axióma|axióm]], s ktorou prišiel [[Poľsko|poľský]] [[matematik]] [[Kazimierz Kuratowski]]. Podľa tejto definície je topologický priestor usporiadaná dvojica <math>(X,\textrm{cl})</math>, kde ''X'' je množina a
:<math>\operatorname{cl}: \mathcal{P}(X) \rightarrow \mathcal{P}(X)</math>
je [[operátor]] uzáveru, pre ktorý sú splnené nasledujúce podmienky (Kuratowského axiómy):

# Uzáver danej množiny ''A'' musí obsahovať celú množinu ''A'', teda: 
#: <math> A \subseteq \textrm{cl}(A) .</math>
# Uzáver je [[idempotentnosť|idempotentný]], teda platí
#: <math> \operatorname{cl}(\textrm{cl}(A)) = \textrm{cl}(A) .</math>
# Uzáver [[zjednotenie (matematika)|zjednotenia]] je zjednotenie uzáverov, čiže:
#: <math>\textrm{cl}(A \cup B) = \textrm{cl}(A) \cup \textrm{cl}(B) .</math>
# [[Prázdna množina]] je sama o sebe uzavretá, čiže:
#: <math>\textrm{cl}(\emptyset) = \emptyset .</math>

=== Definícia pomocou axióm susednosti ===

Ďalšou ekvivalentnou definíciou topologického priestoru, s ktorou prišiel [[Felix Hausdorff]]<ref>Jänich, K.: ''Topology.'' Springer-Verlag, 1984, str. 7.</ref>, je jeho definícia pomocou tzv. [[axióma|axióm]] susednosti. Podľa tejto definície je topologický priestor usporiadaná dvojica <math>(X, \mathcal{O})</math>, kde ''X'' je množina a <math>\mathcal{O} = \{\mathcal{O}_x\ |\ x \in X\}</math> je trieda množín <math>\mathcal{O}_x</math>, kde každé <math>\mathcal{O}_x</math> je množina podmnožín ''X'' nazývaných ''[[okolie (matematika)|okolie]]'' bodu <math>x \in X</math>, pričom platia nasledujúce podmienky (axiómy susednosti):
# Každé okolie bodu ''x'' obsahuje bod ''x'' a ''X'' je okolím každého bodu ''x'', teda:
#: <math>\forall x \in X\ \forall O \in \mathcal{O}_x: x \in O, \qquad \forall x \in X: X \in \mathcal{O}_x .</math>
# Ak nejaká množina <math>V \subseteq X </math> obsahuje okolie bodu ''x'', potom je sama okolím bodu ''x''. Teda,
#: <math>\forall V \in \mathcal{P}(X)\ \forall x \in X: (\exists O \in \mathcal{P}(x): O \in \mathcal{O}_x\ \land\ O \subseteq V) \Rightarrow (V \in \mathcal{O}_x) .</math>
# [[Prienik (matematika)|Prienik]] ľubovoľných dvoch okolí bodu ''x'' je okolie bodu ''x'':
#: <math>\forall x \in X\ \forall A,B \in \mathcal{O}_x: A \cap B \in \mathcal{O}_x .</math>
# Každé okolie bodu ''x'' obsahuje iné okolie bodu ''x'', ktoré je okolím všetkých svojich bodov. Teda,
#: <math>\forall x \in X\ \forall O \in \mathcal{O}_x\ \exists O' \in \mathcal{O}_x\ \forall y \in O': O' \in \mathcal{O}_y .</math>

== Príklady topologických priestorov ==

=== Jednoduché príklady ===

# [[Množina]] ''X'' = {1, 2, 3, 4} a na nej definovaná topológia ''<math>\tau</math>'' = {{}, {1, 2, 3, 4}}, ktorá obsahuje jediné dve podmnožiny ''X'', ktoré sú požadované definíciou, tvoria topologický priestor. Takáto topológia <math>\tau</math> sa nazýva aj ''triviálna topológia'' alebo tiež ''antidiskrétna topológia''<ref>Chalmovianský, P.: [http://www.sccg.sk/~chalmo/Materialy/fat.ps.gz Topológia a funkcionálna analýza.]</ref>. 
# Množina ''X'' = {1, 2, 3, 4} a ''<math>\tau</math>'' = {{}, {2}, {1,2}, {2,3}, {1,2,3}, {1,2,3,4}} tvoria topologický priestor.
# Množina ''X'' = {1, 2, 3, 4} spoločne s topológiou <math>\tau = \mathcal{P}(X)</math> ([[potenčná množina]] množiny ''X'') tiež tvoria topologický priestor. Takto definovaná topológia <math>\tau</math> sa nazýva ''diskrétna topológia''.
# Množina <math>X = \mathbb{Z}</math> všetkých [[celé číslo|celých čísel]] a množina ''<math>\tau</math>'' rovná [[zjednotenie (matematika)|zjednoteniu]] všetkých konečných podmnožín <math>\mathbb{Z}</math> a množiny <math>\mathbb{Z}</math> samotnej, '''netvoria''' topologický priestor, keďže napríklad zjednotenie všetkých konečných podmnožín celých čísel neobsahujúcich číslo 0 nie je konečná množina, ale nie je to ani množina <math>\mathbb{Z}.</math>

=== Sierpińského priestor ===
{{Hlavný článok|Sierpińského priestor}}
Najjednoduchším príkladom topologického priestoru, ktorý nie je ani triviálny, ani diskrétny je tzv. ''[[Sierpińského priestor]]'', pomenovaný podľa [[Wacław Sierpiński|Wacława Sierpińského]]. Ide o topologický priestor na množine {0,1}, ktorého [[otvorená množina|otvorené množiny]] sú

:<math>\{\varnothing,\{0\},\{0,1\}\},</math>

a ktorého [[uzavretá množina|uzavreté množiny]] sú

:<math>\{\varnothing,\{1\},\{0,1\}\}.</math>

Jednoprvková množina {0} je uzavretá a nie otvorená, jednoprvková množina {1} je otvorená a nie uzavretá.

=== Hausdorffove priestory ===
{{Hlavný článok|Hausdorffov priestor}}
''[[Hausdorffov priestor]]'', pomenovaný podľa [[Felix Hausdorff|Felixa Hausdorffa]], nazývaný aj ''separabilný priestor'' alebo ''T<sub>2</sub> priestor'', je taký topologický priestor, v ktorom pre ľubovoľné dva body existuje dvojica [[disjunktné množiny|disjunktných]] okolí. Každý [[metrický priestor]] je Hausdorffov priestor.

== Základné pojmy teórie topologických priestorov ==

=== Okolie bodu ===
{{Hlavný článok|Okolie (matematika)}}
[[Množina]] <math>V \subseteq X</math> sa nazýva [[Okolie (matematika)|okolím]] bodu <math>x \in X</math> v topologickom priestore <math>(X,\tau)</math>, ak existuje množina <math>U \in \tau</math> taká, že <math>x \in U \subseteq V</math>.
Podľa toho, či je okolie ''V'' bodu ''x'' [[otvorená množina|otvorená]] alebo [[uzavretá množina]], nazýva sa ''V'' otvoreným alebo uzavretým okolím bodu ''x''.

=== Vnútro množiny ===
[[Obrázok:Interior illustration.svg|thumb|right|<span style="color:green">Zelenou</span> vyfarbená plocha ilustruje množinu <math>S \subseteq \mathbb{R}^2</math>, na ktorej je štandardným spôsobom definovaná topológia. Bod <math>x \in S</math> patrí dovnútra množiny ''S'', pretože existuje jeho okolie také, že je celé v ''S''. Naopak, bod ''y'' dovnútra ''S'' nepatrí, keďže takéto okolie neexistuje. Bod ''y'' patrí do hranice množiny ''S''.]]

Neformálne možno povedať, že vnútro [[množina|množiny]] ''A'' tvoria práve všetky body z ''A'', ktoré neležia "na jej kraji," ale "vnútri." Je však dôležité, že aj keď je takéto vysvetlenie intuitívne (napr. z klasickej topológie na množine <math>\mathbb{R}^2</math>), vo všeobecnosti je bez formálnej definície pomerne problematické rozhodnúť o tom, čo je kraj a čo vnútro množiny.

Formálne, vnútro množiny <math>A \subseteq X</math> (označované int (''A'') alebo alebo ''A°'') v topologickom priestore <math>(X,\tau)</math> je množina všetkých bodov ''x'' z ''A'', pre ktoré existuje okolie, ktoré je celé v ''A''. Teda,

: <math>\operatorname{int}(A) = \{x \in A\ |\ \exists U \in \tau: x \in U \subseteq A \} .</math>

=== Uzáver množiny ===

Uzáver [[množina|množiny]] ''A'', označovaný <math>\textrm{cl}(A)</math> alebo <math>\bar{A}</math>, je najmenšia uzavretá množina ''B'', pre ktorú platí <math>A \subseteq B .</math> To je ekvivalentné s nasledujúcou formálnou definíciou: uzáver množiny ''A'' v topologickom priestore <math>(X,\tau)</math> je množina všetkých bodov <math>x \in X</math>, ktoré nepatria dovnútra množiny <math>X \setminus A.</math> Čiže,

: <math>\operatorname{cl}(A) = \{x \in X\ |\ x \notin \operatorname{int}(X \setminus A)\} .</math>

Ak rozpíšeme definíciu vnútra množiny a výsledný [[matematická logika|logický]] výraz vhodne upravíme, dostaneme:

: <math>\operatorname{cl}(A) = \{x \in X\ |\ \forall U\in\tau: U \subseteq (X \setminus A) \Rightarrow x \notin U \} .</math>

Táto definícia uzáveru predpokladá klasickú definíciu topologického priestoru. Zjavne, pokiaľ sa použije definícia pomocou Kuratowského axióm uzavretosti, je uzáver definovaný len ako [[zobrazenie (matematika)|zobrazenie]] spĺňajúce stanovené axiómy.

=== Hranica množiny ===

Hranica [[množina|množiny]] ''A'' v topologickom priestore <math>(X,\tau)</math>, označovaná bd (''A'') alebo <math>\partial A</math>, je množina všetkých bodov, ktoré patria do uzáveru množiny ''A'', ale nepatria do jej vnútra. Teda,

: <math>\operatorname{bd}(A) = \operatorname{cl}(A) \setminus \operatorname{int}(A) .</math>

=== Husté a riedke množiny ===

[[Množina]] <math>A \subseteq X</math> sa nazýva hustá v topologickom priestore <math>(X,\tau)</math>, ak jej uzáver je celá množina ''X'' ([[doplnok (množiny)|komplementárna]] množina neobsahuje žiadne vnútorné body), čiže ak platí množinový vzťah

: <math>\operatorname{cl}(A) = X .</math>

Množina <math>B \subseteq X</math> sa nazýva riedka v topologickom priestore <math>(X,\tau)</math>, ak vnútro jej uzáveru je prázdna množina, čiže ak platí

: <math>\operatorname{int}(\operatorname{cl} (B)) = \emptyset .</math>

=== Hromadné a izolované body ===
{{Hlavný článok|Hromadný bod}}
Pre definíciu pojmov ako [[spojitá funkcia|spojité zobrazenie]], či [[limita]], je kľúčový pojem hromadného bodu. Bod <math>x \in X</math> sa nazýva [[hromadný bod]] množiny <math>A \subseteq X</math> v topologickom priestore <math>(X,\tau)</math>, ak každé rýdze [[okolie (matematika)|okolie]] bodu ''x'' (t. j. okolie bodu ''x'' bez bodu ''x'') má neprázdny prienik s množinou ''A''.

Bod <math>x \in A</math> sa nazýva [[izolovaný bod]] množiny <math>A \subseteq X</math> v topologickom priestore <math>(X,\tau)</math>, ak existuje okolie <math>U \in \tau, x \in U</math> také, že pre zodpovedajúce rýdze okolie platí

: <math>(U \setminus \{x\}) \cap A = \emptyset .</math>

=== Báza topologického priestoru ===
{{Hlavný článok|Báza topologického priestoru}}
Báza topologického priestoru <math>(X, \tau)</math> je taká [[množina]] <math>\tau'</math> [[otvorená množina|otvorených množín]] z <math>\tau</math>, že všetky otvorené množiny (prvky <math>\tau</math>) sa dajú zapísať ako zjednotenie množín z bázy <math>\tau'</math>. Čiže množina <math>\tau' \subseteq \tau</math> je báza topologického priestoru <math>(X, \tau)</math> práve vtedy, keď platí

:<math>\forall U \in \tau\ \exists T \subseteq \tau' : U = \bigcup_{V \in T} V .</math>

Báza topologického priestoru <math>(X,\tau)</math> sa niekedy nazýva aj báza topológie <math>\tau</math>.

== Spojité zobrazenia v topologických priestoroch ==

[[Obrázok:Continuity topology.svg|right|thumb|300px|Spojitosť funkcie <math>f: X \rightarrow Y</math> v bode ''x''.]]

Topologické priestory umožňujú definovať pojem [[spojitá funkcia|spojitého zobrazenia]], pričom definícia je zovšeobecnením klasických definícií, napríklad pre funkcie jednej alebo viacerých [[reálne číslo|reálnych]] premenných.

[[Zobrazenie (matematika)|Zobrazenie]] <math>f: X \rightarrow Y</math> medzi topologickými priestormi <math>(X,\tau)</math>
a <math>(Y,\tau')</math> je spojité, ak pre každú [[otvorená množina|otvorenú množinu]] z ''Y'' (teda ľubovoľnú [[množina|množinu]] z <math>\tau'</math>) je jej inverzný obraz zobrazením ''f'' otvorená množina v ''X'' (teda prvok <math>\tau</math>). Teda, formálne, <math>f: X \rightarrow Y</math> je spojité, ak platí

:<math>\forall V \in \tau': f^{-1}(V) \in \tau, </math>

kde ''f<sup>−1</sup>(V)'' je definované ako

:<math>f^{-1}(V) = \{x \in X\ |\ f(x) \in V \}.</math>

Priame použitie takejto definície môže byť problematické, preto sa definuje príbuzný pojem – spojitosť zobrazenia v bode. Zobrazenie <math>f: X \rightarrow Y</math> medzi topologickými priestormi <math>(X,\tau)</math> a <math>(Y,\tau')</math> je spojité v bode <math>x \in X</math>, ak pre každé [[okolie (matematika)|okolie]] ''V'' bodu <math>f(x)</math> v priestore <math>(Y,\tau')</math> existuje okolie ''U'' bodu ''x'' v priestore <math>(X,\tau)</math> také, že <math>f(U) \subseteq V</math>.

=== Homeomorfizmus === 
{{Hlavný článok|Homeomorfizmus}}
[[Homeomorfizmus]] sa definuje ako [[spojitá funkcia|spojité]] [[bijektívne zobrazenie|bijektívne]] [[zobrazenie (matematika)|zobrazenie]] medzi topologickými priestormi <math>(X,\tau)</math> a <math>(Y,\tau')</math>, ktoré má spojité [[inverzné zobrazenie (funkcia)|inverzné zobrazenie]]. Homeomorfizmus je [[izomorfizmus]] v [[kategória (matematika)|kategórii]] topologických priestorov, teda je to zobrazenie zachovávajúce všetky topologické vlastnosti daného priestoru. Ide teda o druh topologickej ekvivalencie.

== Referencie ==

<references />

== Literatúra ==

* Jänich, K.: ''Topology.'' Springer-Verlag, [[1984]].
* [[John Leroy Kelley|Kelley, J.]]: ''General Topology.'' Springer, [[1975]].
* Sutherland, W.: ''Introduction to Metric and Topological Spaces.'' Oxford University Press, [[2009]].
* Willard, S.: ''General Topology.'' Addison-Wesley, [[2004]].
* Lawson, T.: ''Topology: A Geometric Approach.'' Oxford University Press, [[2006]].

== Externé odkazy ==

* [http://mathworld.wolfram.com/TopologicalSpace.html Topologický priestor] – ''MathWorld'' {{eng icon}}.
* [http://planetmath.org/encyclopedia/TopologicalSpace.html Článok o topologických priestoroch] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090316115424/http://planetmath.org/encyclopedia/TopologicalSpace.html |date=2009-03-16 }} na ''PlanetMath'' {{eng icon}}.
* [http://www.sccg.sk/~chalmo/Materialy/fat.ps.gz Skriptá] o [[topológia|topológii]] a [[funkcionálna analýza|funkcionálnej analýze]] zaoberajúce sa okrem iného aj topologickými priestormi.
* [http://www.math.uchicago.edu/~may/MISC/FiniteSpaces.pdf Konečné topologické priestory] – učebný text z University of Chicago {{eng icon}}.

[[Kategória:Topológia]]