Zobrazenie zdroja stránky Teória čísel

'''Teória čísel''' je jednou z disciplín [[diskrétna matematika|diskrétnej matematiky]] zaoberajúca sa vlastnosťami čísel vo všeobecnosti a zvlášť celými číslami, ako aj širším rozsahom problémov súvisiacich so štúdiom čísel. Je možné ju ďalej rozdeliť do poddisciplín vzhľadom na používané metódy a typy riešených úloh.

== Poddisciplíny ==
=== Elementárna teória čísel ===
Od antiky do 18. storočia sa teória čísel zaobišla bez iných matematických disciplín. Jej jediné pomôcky boli vlastnosti celých čísel, obzvlášť rozdelenie čísel na [[prvočíslo|prvočísla]], [[deliteľnosť]] a počítanie s kongruenciami. Dôležité výsledky, ktoré sa dajú dosiahnuť s pomocou elementárnych metód, sú [[malá Fermatova veta]] a jeho zovšeobecnenie [[Eulerova veta]], [[Čínska zvyšková veta]], [[Wilsonova veta]] a [[Euklidov algoritmus]].

=== Analytická teória čísel ===
[[Leonhard Euler]] si ako prvý všimol, že sa dajú metódy [[analýza|analýzy]] a [[teória funkcií|teórie funkcií]] použiť na riešenie úloh teórie čísel. Dôležité problémy, ktoré boli vyriešené analytickými metódami, sú napríklad [[Carl Friedrich Gauß|Gaußova]] [[Gaussova prvočíselná veta|prvočíselná veta]] a [[Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Dirichletova]] veta o prvočíslach v aritmetických rozvojoch. Okrem toho slúžili analytické metódy dôkazu o [[transcendentné číslo|transcendentosti]] čísel [[Ludolfovo číslo|pi]] a [[Eulerovo číslo|e]].

=== Algoritmická teória čísel ===
Algoritmická teória čísel sa zaoberá s tým, ako sa dajú problémy z teórie čísel riešiť algoritmicky. Dôležité otázky sú, či je veľké číslo prvočíslo, sfaktorizovanie veľkých čísel a spočítanie [[diskrétny logaritmus|diskrétneho logaritmu]].

== Použitie teórie čísel ==
Teória čísel sa používa v [[kryptografia|kryptografii]]. Používajú sa tu elementárne metódy (rozklad na prvočinitele, napríklad pri [[RSA]] alebo [[ElGamal]]), ale aj pokročilé metódy algebrickej teórie čísel ([[ECC]]).

Taktiež sa teória čísel nájde v [[teória kódovania|teórii kódovania]].

== Historický vývoj ==
=== Teória čísel v antike a stredoveku ===
Prvé písomné dôkazy z teórie čísel sú zhruba z roku 2000 pred naším letopočtom. [[Egypťania]] a [[Babylon]]čania už poznali čísla menšie než milión, štvorce a zopár pytagorských trojíc.
Systematický vývoj začal však až v prvom tisícročí pred naším letopočtom v [[Staroveké Grécko|antickom Grécku]]. Vynikajúci predstaviteľ je [[Euklides]] (zhruba 300 pred Kr.), ktorý preniesol [[Pytagoras|Pytagorovu]] metódu [[matematický dôkaz|matematického dôkazu]] do teórie čísel. Jeho najslávnejšie dielo, [[Euklidove elementy]], sa do 18. storočia používalo ako štandardná učebnica pre geometriu a teóriu čísel. Zväzky 7, 8 a 9 sa zaoberajú otázkami teórie čísel, ako napríklad definíciou [[prvočíslo|prvočísla]], [[Euklidov algoritmus|Euklidovho algoritmu]] (na výpočet [[najväčší spoločný deliteľ|najväčšieho spoločného deliteľa]]) a dôkazom, že existuje nekonečne veľa prvočísel ([[Euklidova veta]]).
V roku 250 pred Kr. sa zaoberal matematik Diofantos najskôr [[Diofantické rovnice|rovnakomennými rovnicami]]. Jeho hlavné dielo je [[Arithmetica]]. [[Gréci]] kládli zaujímavé otázky, z ktorých niektoré nie sú vyriešené dodnes (napr. problém [[prvočíselná dvojica|prvočíselných dvojíc]], [[dokonalé číslo|dokonalých čísel]] alebo [[trojuholníkové číslo|trojuholníkových čísel]]), alebo ktorých riešenie trvalo tisíce rokov.
So zánikom gréckych štátov skončila aj doba, v ktorej teória čísel v Európe kvitla. Z tohto času je menovateľný iba Leonardo di Pisa ([[Fibonacci]], zhruba 1200 po Kr.), ktorý sa zaoberal okrem číselných radov aj riešením rovníc. Na konci stredoveku objavil [[Marin Mersenne]] tzv. [[Mersennove prvočísla]].

== Príklady číselných množín ==
* [[Prirodzené čísla]] – 1, 2, 3, ... (najstaršie čísla, využívali sa na počítanie množstva), označenie '''N''' (V niektorých definíciách je aj nula prirodzené číslo)
* [[Celé čísla]] – 1, 2, 3, ..., 0, −1, −2, −3, ... (pribudla nula a záporné čísla), označenie '''Z'''
* [[Racionálne čísla]] – čísla, ktoré sa dajú zapísať formou zlomku (napr. 0,5&nbsp;=&nbsp;1/2, ale aj 1&nbsp;=&nbsp;1/1 a √9 = 3/1), označenie '''Q'''
* [[Iracionálne čísla]] - čísla, ktoré sa nedajú napísať formou zlomku, označenie '''I''' delia sa na: 
** Algebrické čísla napr. odmocnina z dvoch
** Transcendentné čísla napr. [[Ludolfovo číslo]], [[Eulerovo číslo]]
* [[Reálne čísla]] – všetky racionálne a iracionálne čísla, označenie '''R'''
* [[Komplexné čísla]] – skladajú sa z 2 častí – reálnej a imaginárnej, takéto číslo je napríklad 0&nbsp;+&nbsp;[[Imaginárna jednotka|i]] (toto komplexné číslo je riešením rovnice <math>x^2 = -1</math>), označenie '''C'''

Hoci sú všetky hore uvedené číselné množiny nekonečné, nie sú rovnako mohutné. [[mohutnosť (množina)|Mohutnosť]] N, Z, Q a algebraických čísel je rovnaká, ostatné tri sú mohutnejšie a zase rovnako mohutné.<ref>https://web.archive.org/web/20190713075700/http://thales.doa.fmph.uniba.sk/cincura/public/Element.teor.cisel.pdf</ref>

== Významní matematici, ktorí sa zaoberajú teóriou čísel ==
* [[Euklides]]
* [[Diofantos z Alexandrie]]
* [[Marin Mersenne]]
* [[Pierre de Fermat]]
* [[Leonhard Euler]]
* [[Carl Friedrich Gauß]]
* [[Joseph Louis Lagrange]]
* [[Adrien-Marie Legendre]]
* [[Carl Gustav Jacob Jacobi]]
* [[Peter Gustav Lejeune Dirichlet]]
* [[Bernhard Riemann]]
* [[Emil Artin]]
* [[Goró Šimura]]
* [[Jutaka Tanijama]]
* [[Andrew Wiles]]
* [[Helmut Hasse]]
* [[Paul Erdős]]
* [[Sophie Germainová]]
* [[Srínivása Ajjangár Rámánudžan]]
* [[André Weil]]
[[Kategória:Teória čísel| ]]
[[Kategória:Matematika]]
[[Kategória:Diskrétna matematika]]

== Referencie ==
<references />