Zobrazenie zdroja stránky Systém lovec-korisť

'''Systém lovec-korisť''' je jednoduchý biologický systém, v ktorom sa navzájom ovplyvňujú populácie dvoch druhov – lovca a koristi.

== Model ==
Dynamika tohto systému sa dá zjednodušene opísať sústavou dvoch [[diferenciálna rovnica|diferenciálnych rovníc]]
:<math>\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=Ax-Bxy,</math>
:<math>\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=Dxy-Cy.</math>
V týchto rovniciach označuje ''x'' počet (populáciu) koristi a ''y'' počet lovcov. Parametre ''A'', ''B'', ''C'', ''D'' opisujú interakciu a vývoj týchto dvoch druhov. Parameter ''t'' predstavuje čas.

Tieto dve rovnice prvýkrát formulovali (nezávisle) Alfred J. Lotka (1925) a Vito Volterra (1926), často sa preto nazývajú rovnice Lotka-Volterra.

== Interpretácia rovníc ==
Pod lovcami si môžeme predstaviť bociany, pod obeťami žaby. Derivácie <math>\mathrm{d}x/\mathrm{d}t</math> a <math>\mathrm{d}y/\mathrm{d}t</math> na ľavých stranách rovníc predstavujú rýchlosť rastu (resp. poklesu) počtu lovcov a množstva koristi. Teda – koľko lovcov a koľko koristi pribudne (resp. ubudne) za jednotku času.

Pri obetiach sa predpokladá, že majú k dispozícii neobmedzné zdroje potravy (napr. veľký rybník pre žaby) a reprodukujú sa exponenciálne – každá obeť má za jednotku času ''A'' potomkov. Ak by neboli prítomní lovci, výsledkom rozmnožovania obete by bol exponenciálny nárast jej množstva podľa vzťahu
:<math>x (t)=x (0)\,\mathrm{e}^{At},</math>
kde <math>x (0)</math> je veľkosť populácie obetí v čase <math>t=0</math>. Ak sú však lovci prítomní, prírastok obetí je zmenšený o to množstvo, ktoré si lovci ulovia. Predpokladáme, že toto množstvo je pritom priamo úmerné tomu, ako často sa lovec a obeť stretávajú, teda súčinu ich počtov <math>xy</math> (môžeme si všimnúť, že ak je počet lovcov alebo počet obetí nulový, nie sú možné žiadne ich stretnutia a lov neprebieha). Ak konštantu úmernosti medzi počtom ulovených obetí a počtom stretnutí <math>xy</math> označíme ''B'', zmena počtu obetí vplyvom lovu je za jednotku času rovná <math>-Bxy</math>. Toto je druhý člen vystupujúci v rovnici pre množstvo koristi.

Lovci na svoje živobytie potrebujú loviť korisť. Predpokladáme, že ich prírastok je priamo úmerný množstvu ulovenej koristi, v druhej rovnici preto vystupuje člen <math>Dxy</math>. Konštanty úmernosti ''B'' a ''D'' nemusia byť rovnaké, pretože jedna ulovená obeť nemusí znamenať narodenie jedného nového lovca. Člen <math>-Cy</math> predstavuje prirodzený úbytok lovcov a vyplýva z jednoduchého pozorovania, že množstvo ich úmrtí za jednotku času je priamo úmerné ich celkovému množstvu <math>y</math>.

== Správanie systému ==
[[Image:Lotka-Volterra-sk.png|thumb|right|260px|Príklad vývoja populácie lovca a koristi v čase.]]
Rovnice Lotka-Volterra majú periodické riešenia, sú teda príkladom biologického systému vykazujúceho [[kmitanie|kmity]]. Riešenia systému sa však vo všeobecnosti nedajú vyjadriť pomocou jednoduchých [[goniometrické funkcie|goniometrických funkcií]] tak ako napríklad pri malých kmitoch [[kyvadlo|kyvadla]].

Ak rovnice linearizujeme (pomocou predpokladu, že populácie oboch zúčastnených druhov sa menia iba málo okolo svojej ustálenej hodnoty), výsledkom sú jednoduché [[harmonické kmity]], v ktorých sú výchylky populácie lovcov a koristi navzájom fázovo posunuté o 90 stupňov. Teda keď je najviac koristi, počet lovcov dosahuje priemernú hodnotu a naopak keď je počet lovcov maximálny, množstvo obetí dosahuje už iba priemernú hodnotu a klesá.

=== Rovnováha sústavy ===
Rovnováha (nemennosť veľkosti oboch populácií) sa dosahuje vtedy, keď sú ich rýchlosti zmien nulové. Dosadením nuly namiesto derivácie na ľavých stranách oboch rovníc získavame sústavu dvoch rovníc s dvoma neznámymi (<math>x</math> a <math>y</math>). Táto sústava má dve riešenia
:<math>x=0,\quad y=0,</math>
:<math>x=A/B,\quad y=C/D.</math>
Prvé riešenie je triviálne – počet lovcov i koristi sú nulové. Druhý prípad je zaujímavejší, v ňom prírastok obetí je kompenzovaný lovom dravcov. Tento lov je zároveň dostatočný na kompenzovanie prirodzeného úbytku dravcov.

Prvé rovnovážne riešenie (<math>x=0</math> a <math>y=0</math>) nie je prirodzené. Systém sa doňho môže dostať iba tak, že umelo odstránime všetku korisť (<math>x=0</math>) a dravci následne vymrú na vyhladovanie (ide o vymieranie exponenciálne, teda k hodnote <math>y=0</math> sa približujeme, nikdy ju však nedosiahneme). V malom okolí druhého nájdeného rovnovážneho riešenia sústava koná [[kmity|kmitavý pohyb]].

[[Kategória:Biológia]]
[[Kategória:Matematická analýza]]