Zobrazenie zdroja stránky Silové napätie v hmote

{{Spojiť s|Mechanické napätie}}
[[Súbor:Stress in a continuum.svg|náhľad|vpravo|Silové napätie v hmote]]
'''Silové napätie v [[Hmota (fyzika)|hmote]]''' alebo '''napäťový stav [[Látka (fyzika)|látky]]''' je vyjadrenie vnútorných silových pomerov v látke, t. j. ako na seba pôsobia dve vzájomne susediace časti látky.

Pretože [[sila]], ktorou na seba pôsobia tieto dve časti, je závislá od veľkosti plochy na ktorej sa tieto časti stýkajú, sila sa vyjadruje pomocou napätia '''σ''', čo je pomer medzi veľkosťou [[Sila|sily]] '''F''' a plochou '''S''' na ktorú táto sila pripadá:

: <math> \sigma = \frac{F}{S} \ </math>

Pozn.: Silové napätie vyjadruje iba vnútorné sily v látke, ktorým sa hovorí aj plošné sily. Okrem nich existujú aj [[Objem (matematika)|objemové]], alebo [[Hmota|hmotové]] sily, ktoré pôsobia na každú časticu látky priamo (nie sprostredkovane cez susedné častice ako pri vnútorných silách) a často na veľkú vzdialenosť ([[gravitácia]], [[elektromagnetizmus]]).

Pretože pri vnútorných silách ide o vzájomné pôsobenie na ploche, ide o klasický prípad akcie a reakcie, takže [[Vektor (matematika)|vektor]] plošnej sily môže mať dva navzájom opačné smery, čo závisí od toho, z ktorej strany sa na plochu pozeráme (z hľadiska ktorej časti látky). Daný stav je popísaný iba jediným napätím '''σ''', ale výsledný smer sily je daný jednotkovým normálovým vektorom plochy <math>\vec{n}</math>. Táto idea sa dá jednoducho vyjadriť nasledovne:

: <math> \vec{F} = \sigma \,S\,\vec{n}\ </math>

Obvyklá dohoda je, že pre silu, ktorá pôsobí na danú časť látky platí vonkajšia strana plochy z pohľadu danej časti. Takže normálový vektor ukazuje na ploche von z objemu vyšetrovanej časti látky.

== Tenzor napätia ==
Už uvedený vzorec je iba jednoduchý koncept, pretože realita je zložitejšia. V trojrozmernom priestore existuje existujú tri zložky akéhokoľvek vektora sily. Lenže veľkosť plošnej sily závisí nielen od veľkosti plochy ale aj od jej natočenia v priestore. V [[Trojrozmerný priestor|trojrozmernom priestore]] existujú tri základné natočenia plochy (smery [[Normála|normály]]) a každé iné natočenie je kombináciou základných troch. To dáva spolu 3 zložky plošnej sily na 3 orientácie normály --- spolu 9 zložiek, pričom pri zmene [[Sústava súradníc|súradnicovej sústavy]] sa spolu mení všetkých 9 zložiek. Na vyjadrenie takejto veličiny už nestačí pojem vektora, a zavádza sa pojem [[tenzor]]. Vektor je vlastne tenzor 1. rádu, tj. [[Veličina (matematika)|veličina]], ktorá sa dá zapísať stĺpcom čísel. 9 zložiek silového napätia sa dá zapísať ako dvojrozmerná [[Matica (matematika)|matica]] čísel, ktorej hovoríme tenzor 2. rádu. Tenzor 3. rádu by bola trojrozmerná kocka čísel, atď. Takže tenzor silového napätia v látke, v 3-rozmernom priestore, je vlastne špeciálna matica 3x3 čísel, ktorá sa pri zmene súradnicového systému transformuje podobne ako vektory. Je možné ju zapísať troma spôsobmi --- vektorovou symbolikou (dvoma šípkami), tenzorovým zápisom pomocou indexov, a maticou:

: <math> \vec\vec{\sigma} = \sigma_{ij} = \begin{bmatrix}
 \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz}\\
 \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz}\\
 \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz}\\
\end{bmatrix}
\ </math>

Na základe takejto reprezentácie tenzora je možné vyjadriť silu vo všeobecnom prípade:

: <math> [\vec{F}] = S\,[\vec\vec{\sigma}] \cdot [\vec{n}]\ </math>

: <math> \begin{bmatrix}
 F_{x}\\
 F_{y}\\
 F_{z}\\
\end{bmatrix} 
=
S\, 
\begin{bmatrix}
 \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz}\\
 \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz}\\
 \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz}\\
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
 n_{x}\\
 n_{y}\\
 n_{z}\\
\end{bmatrix}
\ </math>


Prvý index zložky tenzora označuje normálu plochy na ktorej pôsobí, a druhý index označuje smer pôsobenia zložky. Existuje aj opačná interpretácia indexov (napr. u Grahama), ale prv uvedená je konzistentná s najčastejšou definíciou divergencie tenzora odvodenej z nasledovného zápisu (za predpokladu <math>\nabla = \vec{e_i}\frac{\partial}{\partial x_i}</math>):

<math>\rm div\ \vec\vec{\sigma} = \nabla \bullet \vec\vec{\sigma} \equiv_{(maticovo)} [\vec\vec{\sigma}]^T \cdot [\nabla] \equiv_{(tenzorovo)} \frac{\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \ </math> 

ktorá vystupuje v rovnováhe síl v mechanike tuhých látok a tekutín.

Bohužiaľ, nielenže sa používajú aj opačné interpretácie, ale často sú tieto vzťahy aj nekonzistentné v tom istom prameni. Našťastie, pre všetky súčasné reálne aplikácie je to jedno, pretože na konkrétnom význame indexov nezáleží, pretože sa dá dokázať že <math>\sigma_{ij} = \sigma_{ji}</math>, t. j. tenzor je vždy symetrický voči diagonále. Dôležité je len to, aby boli všetky vzťahy konzistentné so zvolenou definíciou divergencie tenzora.

== Rozklad tenzora na časti ==
V mechanike tuhých látok pred zavedením tenzorov a v technických oboroch (napr. [[Strojárstvo|strojárstve]]) sa zvyknú rozlišovať dva druhy napätí:
* normálové napätia <math>\sigma_i</math>, t. j. napätia pôsobiace kolmo na plochu
* [[Tangens|tangenciálne]] napätia <math>\tau_{ij}</math>, t. j. napätia pôsobiace v rovine
To sa dá zapísať nasledovne:

: <math> \begin{bmatrix}
 \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz}\\
 \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz}\\
 \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz}\\
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
 \sigma_{x} & 0 & 0\\
 0 & \sigma_{y} & 0\\
 0 & 0 & \sigma_{z}\\
\end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}
 0 & \tau_{xy} & \tau_{xz}\\
 \tau_{yx} & 0 & \tau_{yz}\\
 \tau_{zx} & \tau_{zy} & 0\\
\end{bmatrix}
\ </math>

Naproti tomu v [[Mechanika|mechanike]] [[Tekutina|tekutín]] (v aerodynamike, hydraulike, ...) je užitočnejšie delenie tenzora napätí na:
* izotropickú časť (nemení sa pri zmene súradnicového systému); a
* neizotropickú (deviatorickú) časť.
Izotropický tenzor 2. rádu (čo je náš prípad napätí) obsahuje iba prvky na diagonále, pričom všetky sú rovnaké. Je to teda násobok jednotkovej matice (Kroneckerovho delta tenzora) a konštanty, ktorou je v prípade tekutín hydrostatický tlak. [[Hydrostatický tlak]] býva zďaleka najväčšou zložkou silových napätí v tekutine, preto je také delenie veľmi užitočné. Deviatorickú zložku zatiaľ označme ako '''s<sub>ij</sub>''':

: <math> \sigma_{ij} = -p\,\delta_{ij} + s_{ij}\ </math>

Pretože deviatorický tenzor '''s<sub>ij</sub>''' je v tekutinách závislý iba od rýchlosti deformácie a od viskozity, hovorí sa mu aj tenzor viskóznych napätí. Pretože tangenciálne zložky viskózneho napätia sú zhodné s celkovými tangenciálnymi zložkami, namiesto symbolu <math>s_{ij}\ </math> používa symbol <math>\tau_{ij}\ </math> (takmer pravidlo v mechanike tekutín). 

: <math> \sigma_{ij} = -p\,\delta_{ij} + \tau_{ij}\ </math>

: <math> \begin{bmatrix}
 \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz}\\
 \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz}\\
 \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz}\\
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
 -p & 0 & 0\\
 0 & -p & 0\\
 0 & 0 & -p\\
\end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}
 \tau_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz}\\
 \tau_{yx} & \tau_{yy} & \tau_{yz}\\
 \tau_{zx} & \tau_{zy} & \tau_{zz}\\
\end{bmatrix}
\ </math>

Treba si zapamätať odlišný význam symbolu τ v [[Mechanika tekutín|mechanike tekutín]] oproti významu v inžinierskych oboroch. Jediný rozdiel je v tom, že na diagonále tenzora τ pribudli normálové viskózne napätia.

Upozornenie: V mechanike tekutín sa vyskytujú aj prípady s opačným významom symbolov '''σ''' a '''τ''' prípadne aj iným označením ('''π''').

== Pozri aj ==
* [[Napätie]]
*** [[Mechanické napätie]]
*** [[Napätie v tekutine]]
* [[Mechanika tekutín]]
* [[Tenzor]]
* Zápis vektorov a tenzorov podľa Hassenpfluga (TeX-ovský balík mattens.sty) [http://www.ctan.org/tex-archive/macros/latex/contrib/mattens/]

== Knihy ==
* Kuzmin, D. (2007). ''Introduction to CFD''. [http://www.mathematik.uni-dortmund.de/~kuzmin/teaching.html] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080226131939/http://www.mathematik.uni-dortmund.de/~kuzmin/teaching.html |date=2008-02-26 }}
* Graham, J. (2005). ''AY 202 - Astrophysical Gas Dynamics''. [http://astron.berkeley.edu/~jrg/ay202]
* Anderson, J. D. J. (1995). ''Computational Fluid Dynamics''. McGraw-Hill. ISBN 0-07-001685-2
* Tannehill, J. C. et al. (1997). ''Computational Fluid Mechanics and Heat Transfer''. Taylor & Francis. ISBN 1-56032-046-X
* Schlichting, H. (1968). ''Grenzschicht theorie''. Verlag G. Braun.
* Wesseling, P. (2000). ''Principles of Computational Fluid Dynamics''. Springer-Verlag. ISBN 3-540-67853-0
* Kundu, P. K. et al. (2002). ''Fluid Mechanics''. Academic Press. ISBN 0-12-178251-4

{{Portál|Fyzika|Fyzikálny}}

[[Kategória:Aerodynamika]]
[[Kategória:Mechanika tekutín]]
[[Kategória:Fyzikálne veličiny]]
[[Kategória:Fyzika tuhého telesa]]