Zobrazenie zdroja stránky Rotácia (operátor)

'''Rotácia''' je diferenciálny operátor definovaný pre [[Vektor (matematika)|vektorové]] [[funkcia|funkcie]] ''n'' premenných, ktorý v každom bode udáva lokálnu mieru rotácie (otáčania) definovaného týmto poľom. Značí sa <math>\mathrm{rot}</math>, prípadne (hlavne v anglickej literatúre) <math>\mathrm{curl}</math>. Je definovaný ako <math>\nabla \times \mathbf{F}</math> (kombinácia operátoru [[operátor nabla|nabla]] a [[vektorový súčin|vektorového súčinu]]), v troch rozmeroch (pre funkciu troch premenných) ho možno zapísať v tvare:
:<math>\operatorname{rot}\,\mathbf{F} = \nabla \times \mathbf{F} = \left (
\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z},
\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x},
\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}
\right )
</math>

Rotáciu využíva napr. [[Stokesova veta]], ktorá prevádza [[krivkový integrál|krivkový]] [[integrál]] [[vektorové pole|vektorového poľa]] po uzavretej krivke na [[plošný integrál]] rotácie tohto vektorového poľa cez ľubovolnú plochu ohraničenú touto krivkou. Ak je rotácia vektorového poľa nulová, potom sa toto pole dá vyjadriť ako [[gradient]] skalárnej funkcie (tzv. [[potenciál]]u) a nazýva sa potenciálnym poľom.

== Vlastnosti rotácie ==

Ak označíme '''F''', '''G''' [[vektorové pole|vektorové polia]], ''f'' [[skalárne pole]], ''a'', ''b'' [[reálne číslo|reálne čísla]], potom operátor rotácie spĺňa nasledujúce identity:

Je lineárna voči [[reálne číslo|reálnym číslam]]
:<math>\nabla\times \left(a\mathbf{F}+b\mathbf{G}\right) = 
a\nabla\times \mathbf{F}+b\nabla\times\mathbf{G}</math>.

Rotácia [[gradient]]u je [[nula|nulová]]
:<math>\nabla\times \nabla f = \mathrm{rot} \, \mathrm{grad} \, f = \mathbf{0}</math>.

Rotácia z [[vektorové pole|vektorového poľa]] násobeného [[skalárne pole|skalárnym]] poľom  ([[Vektor (matematika)|vektora]] [[funkcia|funkcie]]) je
:<math>\nabla\times \left(f \mathbf{F}\right) = 
\nabla f \times \mathbf{F}+f \nabla\times\mathbf{F}</math>.

Rotácia z [[vektorový súčin|vektorového súčinu]] dvoch vektorových polí je 
:<math>\nabla\times \left(\mathbf{F} \times \mathbf{G}\right) = 
\left(\mathbf{G}\cdot\nabla\right)\mathbf{F}-\left(\mathbf{F}\cdot\nabla\right)\mathbf{G}
+\mathbf{F}\left(\nabla\cdot\mathbf{G}\right)-\mathbf{G}\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)</math>,

pre rotáciu z rotácie vektorového poľa '''F''' platí
:<math>\nabla \times \left(\nabla\times \mathbf{F}\right) =
\nabla\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)-\Delta \mathbf{F}</math>.

== Vyjadrenie v rôznych sústavách súradníc ==

Nasledujúce vzťahy udávajú vyjádrenie '''rotácie''' v rôznych súradných sústavách v trojrozmernom priestore. Ak je ''F'' [[vektorové pole]] v daných súradniciach, potom platí

=== Vo valcových súradniciach === 

:<math>\nabla \times \mathbf{F} = \left({1 \over r}{\partial F_z \over \partial \varphi}
    - {\partial F_\varphi \over \partial z}\right) \boldsymbol{\hat r} +
  \left({\partial F_r \over \partial z} - {\partial F_z \over \partial r}\right) 
\boldsymbol{\hat \varphi} +
  {1 \over r}\left({\partial ( r F_\varphi ) \over \partial r} 
    - {\partial F_r \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat z}</math>

===  Vo sférických súradniciach === 

:<math>\nabla \times \mathbf{F} =
  {1 \over r\sin\theta}\left({\partial \over \partial \theta} ( F_\varphi\sin\theta )
    - {\partial F_\theta \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat r} +
  {1 \over r}\left({1 \over \sin\theta}{\partial F_r \over \partial \varphi} 
    - {\partial \over \partial r} ( r F_\varphi ) \right) \boldsymbol{\hat \theta} +
  {1 \over r}\left({\partial \over \partial r} ( r F_\theta )
    - {\partial F_r \over \partial \theta}\right) \boldsymbol{\hat \varphi}</math>

Ak použijeme všeobecné ortogonálne súradnice ''x''<sub>1</sub>,''x''<sub>2</sub>,''x''<sub>3</sub>, ktorej Laméove koeficienty sú v tomto poradí ''h''<sub>1</sub>,''h''<sub>2</sub>,''h''<sub>3</sub>

:<math>\nabla \times \mathbf{F} = \frac{1}{h_2 h_3} \left(
\frac{\partial \left(h_3 F_3\right)}{\partial x_2}-
\frac{\partial \left(h_2 F_2\right)}{\partial x_3}
\right)\boldsymbol{\hat x}_1</math>
::<math>+\ \ \ \ \ 
                                 \frac{1}{h_1 h_3} \left(
\frac{\partial \left(h_1 F_1\right)}{\partial x_3}-
\frac{\partial \left(h_3 F_3\right)}{\partial x_1}
\right)\boldsymbol{\hat x}_2</math>
::<math>+\ \ \ \ \ 
                                 \frac{1}{h_1 h_2} \left(
\frac{\partial \left(h_2 F_2\right)}{\partial x_1}-
\frac{\partial \left(h_1 F_1\right)}{\partial x_2}
\right)\boldsymbol{\hat x}_3</math>

V úplne všeobecných súradniciach pre zložky vektora divergencie platí

: <math>\left(\nabla\times \mathbf{F}\right)^i 
\frac{\boldsymbol{\partial}^{\underline{m}}}{\boldsymbol{\partial} x^i} = 
\left(\varepsilon^{ijk} F_{k,j}\right)
\frac{\boldsymbol{\partial}^{\underline{m}}}{\boldsymbol{\partial} x^i},
</math>

kde <math>\varepsilon^{ijk}</math> je Levi-Civitov symbol.

'''Dohoda''': Kým v predchádzajúcom texte sme za bázu brali ortonormálnu bázu v daných súradniciach, vo vzorci pre všeobecné súradnice používame bázu vektorov alebo diferenciálnych foriem a explicitne uvedieme ktorú. Rovnako v predchádzajúcom texte nerozlišujeme polohu indexov a všetky indexy (ortonormálnej bázy aj súradníc) píšeme dole, no vo všeobecných súradniciach polohu indexov rozlišujeme.

[[Kategória:Diferenciálne operátory]]
[[Kategória:Vektorový počet]]