Zobrazenie zdroja stránky Pohyb s konštantným zrýchlením

'''Pohyb s konštantným zrýchlením''' (iné názvy: '''rovnomerne premenný pohyb''';  pri zrýchlenom pohybe: '''rovnomerne zrýchlený pohyb'''; pri spomalenom pohybe: '''rovnomerne spomalený pohyb''' alebo '''rovnomerne oneskorený pohyb''') je pohyb, pri ktorom je vektor okamžitého zrýchlenia ('''a''') konštantný a nenulový (V ďalšom texte budeme vektor okamžitého zrýchlenia nazývať „zrýchlenie“).

Ekvivalentné definície sú:
*pohyb, pri ktorom je rýchlosť (<math>\vec v</math>) lineárnou funkciou časového intervalu (<math>\Delta t</math>)
*pohyb, pri ktorom je zrýchlenie (<math>\vec a =\frac{d \vec v}{d \vec t}</math>) zhodné s priemerným zrýchlením (<math>\vec a_p=\frac{\Delta \vec v}{\Delta t}</math>)
*pohyb, pri ktorom (za predpokladu konštantnej hmotnosti) pôsobí na daný pohybujúci sa [[hmotný bod]] konštantná (výsledná) sila (<math>\vec F</math>).

Trajektória pohybu s konštantným zrýchlením má v prípade priamočiareho pohybu tvar časti priamky a v prípade krivočiareho pohybu má vždy tvar časti paraboly (tzv. parabolický pohyb; napr. šikmý vrh). Ak teda nejaký krivočiary pohyb nemá trajektóriu tvaru časti paraboly, nejde o pohyb s konštantným zrýchlením.

Treba poznamenať, že termín „rovnomerne premenný (zrýchlený/spomalený [či oneskorený]) pohyb“ môže byť definovaný aj inak – ako pohyb s konštantným <math>\left | \vec a_t \right |</math>. K tomu pozri články [[rovnomerne premenný pohyb]] a [[rýchlosť (fyzikálna veličina)]]. Údaje (vzorce atď.) uvedené v tomto článku platia (aj) pre pohyb s konštantným <math>\left | \vec a_t \right |</math> iba v prípade priamočiareho pohybu, inak sú údaje odlišné.

== Vzorce (kinematika) ==
Vysvetlivky značiek (podrobne pozri v článku [[rýchlosť (fyzikálna veličina)]]):
*<math>_0</math> : hodnota v čase t<sub>0</sub>
*<math>\Delta</math> : (neinfinitezimálna) zmena
*<math>d</math> : infinitezimálna zmena
*<math>\left | \quad \right |</math>: pri vektore: veľkosť; pri skalári: absolútna hodnota
*<math>t</math> : čas
*<math>s</math> : krivočiara súradnica („[[dĺžka dráhy]]“, „dráha“)
*<math>\vec v = \frac{d \vec r}{dt}=\left | ds \right | \frac{\vec \tau}{dt}</math> : vektor okamžitej rýchlosti („rýchlosť“)
*<math>\vec a = \frac{d \vec{v}}{dt}</math> : vektor okamžitého zrýchlenia („zrýchlenie“)
*<math>\vec a_t</math> : vektor tangenciálneho zrýchlenia („tangenciálne zrýchlenie“)
*<math>\vec a_n</math> : vektor normálového zrýchlenia („normálové zrýchlenie“)
*<math>\vec r</math> : polohový vektor
*<math>\vec \tau</math> : jednotkový vektor v smere vektora okamžitej rýchlosti (<math>\vec v</math>)

=== Všeobecný prípad===
Popri všeobecne platných vzorcoch (pozri napr. v článku [[rýchlosť (fyzikálna veličina)]]) platia špecificky len pre pohyb s konštantnou rýchlosťou nasledujúce vzorce:
*<math>\vec a = \vec a_0 = \frac{\Delta \vec v}{\Delta t}</math>  (<math>\vec a = \vec a_0</math> je východiskový predpoklad, teda že <math>\vec a</math> je konštantné. Ak je <math>\vec a = \frac{d \vec{v}}{dt}</math> konštantné, tak to musí platiť aj pre ľubovoľne veľký časový interval, čiže <math>\frac{d \vec v}{dt} = \frac{\Delta \vec v}{\Delta t}</math>)
*<math>\vec v = \vec v_0 + \vec a \Delta t = \vec v_0 + \vec a_0 \Delta t</math> (Toto je len úprava vzorca <math>\vec a = \frac{\Delta \vec v}{\Delta t}</math>. Rovnaký výsledok dostaneme zo všeobecne platného vzorca <math>\vec v = \vec v_0 + \int\limits_{t_0}^{t} \vec a d \bar t</math>, keď uvážime, že <math>\vec a</math> je konštantné.)
*<math>\vec r = \vec r_0 + \vec v_0 \Delta t + \frac{\vec a \Delta t^2}{2}=\vec r_0 + \vec v_0 \Delta t + \frac{\vec a_0 \Delta t^2}{2}</math> (Toto dostaneme, keď do všeobecne platného vzorca <math>\vec r = \vec r_0 + \int\limits_{t_0}^{t} \vec v d \bar t</math>  dosadíme <math>\vec v = \vec v_0 + \vec a \Delta t</math>)

Keď urobíme dodatočné predpoklady, vyššie uvedené vzorce sa nám zjednodušia. Napríklad ak predpokladáme <math>t_0=0</math> (teda čas na začiatku pohybu je 0 sekúnd) a <math>\vec v_0=0</math> (teda rýchlosť na začiatku pohybu je nulová), dostaneme:
*<math>\vec a = \vec a_0=\frac{\vec v}{t}</math>
*<math>\vec v = \vec a t = \vec a_0 t</math>
*<math>\vec r = \vec r_0 + \frac{\vec a t^2}{2}=\vec r_0 + \frac{\vec a_0 t^2}{2}</math>

=== Priamočiary pohyb s konštantným zrýchlením ===
V prípade priamočiareho pohybu s konštantným zrýchlením (porovnaj článok [[priamočiary pohyb]]) platia popri vyššie uvedených vzorcoch (teda <math>\vec a = \vec a_0 = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}</math>, <math>\vec v = \vec v_0 + \vec a \Delta t = \vec v_0 + \vec a_0 \Delta t</math> a <math>\vec r = \vec r_0 + \vec v_0 \Delta t + \frac{\vec a \Delta t^2}{2}=\vec r_0 + \vec v_0 \Delta t + \frac{\vec a_0 \Delta t^2}{2}</math>) aj nasledujúce vzorce:
*skalárne veličiny:
**<math>\left | \vec a \right | = \left | \vec a_0 \right |</math>; <math>\left | \vec a \right | = \left | \vec a_t \right |</math>
**<math>\left | \vec a_t \right | = \left | \vec a_{t,0} \right |</math>; <math>\left | \vec a_t \right | = \pm \frac{\Delta \left | \vec v \right |}{\Delta t}</math>
**<math>\left | \vec a_n \right | = 0</math>
**<math>\left | \vec v \right | = \left | \vec v_0 \right | \pm \left | \vec a \right | \Delta t</math> (resp. namiesto <math>\left | \vec a \right |</math> môže byť vo vzorci <math>\left | \vec a_0 \right |</math>, <math>\left | \vec a_t \right |</math> alebo <math>\left | \vec a_{t,0} \right |</math>)
**<math>s=s_0 \pm \left | \vec v_0 \right | \Delta t \pm \frac{\left | \vec a_0 \right | \Delta t^2}{2}</math> (resp. namiesto <math>\left | \vec a \right |</math> môže byť vo vzorci <math>\left | \vec a_0 \right |</math>, <math>\left | \vec a_t \right |</math> alebo <math>\left | \vec a_{t,0} \right |</math>)
*vektorové veličiny:
**<math>\vec a = \vec a_t</math>
**<math>\vec a_t = \vec a_{t,0}</math>
**<math>\vec a_n</math> je nulový vektor
**<math>\vec v = \vec v_0 + \vec a_t \Delta t</math> (resp. namiesto <math>\left | \vec a_t \right |</math> môže byť vo vzorci <math>\left | \vec a_{t,0} \right |</math> [alebo ako už bolo uvedené vyššie pre všeobecný prípad: <math>\left | \vec a \right |</math> alebo <math>\left | \vec a_0 \right |</math>])
**<math>\vec r = \vec r_0 + \vec v_0 \Delta t + \frac{\vec a_t \Delta t^2}{2}</math> (resp. namiesto <math>\left | \vec a_t \right |</math> môže byť vo vzorci <math>\left | \vec a_{t,0} \right |</math> [alebo ako už bolo uvedené vyššie pre všeobecný prípad: <math>\left | \vec a \right |</math> alebo <math>\left | \vec a_0 \right |</math>])
**<math>\Delta \vec r = \left | \Delta s \right | \vec \tau</math> (čiže <math>\vec r - \vec r_0 = \left | s - s_0 \right | \cdot \vec \tau</math>)

Keď urobíme dodatočné predpoklady, vyššie uvedené vzorce sa nám zjednodušia. Napríklad ak predpokladáme <math>t_0 = 0</math> (teda čas na začiatku pohybu je 0 sekúnd) a <math>\left | \vec v_0 \right | = 0</math> (teda veľkosť rýchlosti na začiatku pohybu je {{ms|0|m}}) a <math>s_0 = 0</math> (teda „dráha“ na začiatku pohybu je 0 metrov), dostaneme:
*skalárne veličiny:
**<math>\left | \vec a \right | = \left | \vec a_0 \right |</math>; <math>\left | \vec a \right | = \left | \vec a_t \right |</math>
**<math>\left | \vec a_t \right | = \left | \vec a_{t,0} \right |</math>; <math>\left | \vec a_t \right | = \pm \frac{\left | \vec v \right |}{t}</math>
**<math>\left | \vec a_n \right | = 0</math>
**<math>\left | \vec v \right | = \pm \left | \vec a \right | t</math> (resp. namiesto <math>\left | \vec a \right |</math> môže byť vo vzorci <math>\left | \vec a_0 \right |</math>, <math>\left | \vec a_t \right |</math> alebo <math>\left | \vec a_{t,0} \right |</math>)
**<math>s=\pm \frac{\left | \vec a_0 \right | t^2}{2}</math> (resp. namiesto <math>\left | \vec a \right |</math> môže byť vo vzorci <math>\left | \vec a_0 \right |</math>, <math>\left | \vec a_t \right |</math> alebo <math>\left | \vec a_{t,0} \right |</math>)
*vektorové veličiny:
**<math>\vec a = \vec a_t</math>
**<math>\vec a_t = \vec a_{t,0}</math>
**<math>\vec a_n</math> je nulový vektor
**<math>\vec v = \vec a_t t</math> (resp. namiesto <math>\left | \vec a_t \right |</math> môže byť vo vzorci <math>\left | \vec a_{t,0} \right |</math> [alebo ako už bolo uvedené vyššie pre všeobecný prípad: <math>\left | \vec a \right |</math> alebo <math>\left | \vec a_0 \right |</math>])
**<math>\vec r = \vec r_0 + \frac{\vec a_t t^2}{2}</math> (resp. namiesto <math>\left | \vec a_t \right |</math> môže byť vo vzorci <math>\left | \vec a_{t,0} \right |</math> [alebo ako už bolo uvedené vyššie pre všeobecný prípad: <math>\left | \vec a \right |</math> alebo <math>\left | \vec a_0 \right |</math>])
**<math>\Delta \vec r = \left | s \right | \vec \tau</math> (čiže <math>\vec r - \vec r_0 = \left | s \right | \cdot \vec \tau</math>)

== Silové pôsobenie (kinetika) ==
Pohyb s konštantným zrýchlením je pohyb s konštantným a nenulovým <math>\vec a</math>. Z [[2. Newtonov pohybový zákon|2. Newtonovho pohybového zákona]] v jeho variante pre konštantnú rýchlosť, t.j. zo vzorca <math>\vec F = m\vec a</math> (kde <math>\vec F</math> je sila, <math>m</math> je hmotnosť, <math>m</math> je konštantné a je <math>>0</math>), vyplýva, že ak je hmotný bod v pohybe s konštantným nenulovým <math>\vec a</math>, tak naňho pôsobí konštantná (výsledná) sila, teda (výsledná) sila s konštantnou veľkosťou a s konštantným smerom. Čím väčšia je táto konštantná (výsledná) sila, tým väčšie je toto konštantné zrýchlenie pohybu.

Pre akýkoľvek pohyb s nenulovým (konštantným či nekonštantným) zrýchlením platí, že:
* (výsledná) sila má rovnaký smer ako zrýchlenie (vyplýva to zo vzorca <math>\vec F = m\vec a</math>)
*pri priamočiarom zrýchlenom pohybe má táto sila (a zrýchlenie) navyše rovnaký smer a orientáciu ako smer pohybu (teda smer <math>\vec v</math>), pri priamočiarom spomalenom pohybe má táto sila (a zrýchlenie) rovnaký smer ale opačnú orientáciu ako smer pohybu (teda smer <math>\vec v</math>); pri krivočiarom pohybe (teda v kontexte pohybu s konštantným zrýchlením: pri parabolickom pohybe) má táto sila (a zrýchlenie) smer odlišný od smeru pohybu (teda smeru <math>\vec v</math>)
*pri krivočiarom pohybe (teda v kontexte pohybu s konštantným zrýchlením: pri parabolickom pohybe) možno túto silu rozložiť na tangenciálnu silu (<math>\vec F_t</math>) a normálovú silu (<math>\vec F_n</math>) – podrobnosti pozri v článku [[pohyb po kružnici]].

=== Voľný pád a vrh ===
Typickým príkladom silového pôsobenia pri pohybe s konštantnou rýchlosťou je pohyb vo vákuu v homogénnom tiažovom poli Zeme, teda tzv. voľný pád a tzv. vrh. Pri tomto pohybe je <math>\vec a = \vec g</math>, čiže zrýchlenie (<math>\vec a</math>) je rovné tiažovému zrýchleniu (<math>\vec g</math>). Preto aj <math>\vec F = \vec F_G</math>, kde <math>\vec F_G = m\vec g</math>, pričom <math>\vec F_G</math> sa nazýva [[tiažová sila]] (iné názvy: [[tiaž]], sila tiaže, historicky aj: váha). Tiažová sila je výslednica gravitačnej sily (<math>\vec F_G</math>) a rotáciou Zeme vznikajúcej odstredivej sily (teda opaku normálovej – čiže dostredivej – sily), čiže <math>\vec F_G = \vec F_G + \left ( - \vec F_n \right )</math>. 

K tomu niekoľko poznámok:
*<math>\vec g</math> v skutočnosti nie je úplne konštantné (a teda príslušný pohyb nie je celkom pohyb s konštantným zrýchlením), ale sa mierne mení spolu so zemepisnou šírkou; v fyzikálnej teórii sa však obyčajne zjednodušene považuje z konštantu.
*Niekedy sa terminologicky odlišuje tiažová sila <math>\vec F_G</math> (ako sila pôsobiaca na samotný hmotný bod či ťažisko samotného telesa) od tiaže <math>\vec G</math> (ako sily, ktorou pôsobí hmotný bod či teleso na svoju podložku alebo na svoj záves); rozdiel medzi takto definovaným <math>\vec F_G</math> a <math>\vec G</math> je teda len v mieste pôsobenia, ich smer aj veľkosť sú zhodné. 
*V geofyzikálnej literatúre sa slovom tiaž niekedy označuje aj [[tiažové zrýchlenie]] (<math>\vec g</math>). 

O výpočte rýchlosti voľného pádu a vrhu pozri aj príslušnú kapitolu v článku [[rýchlosť (fyzikálna veličina)]].

=== Obmedzenia ===
Podobne v ako mnoho iných jednoduchých úloh vo fyzike, aj pohyb s konštantným zrýchlením je len idealizovaná situácia:

==== Odporová sila ====
Ak by sme aj dokázali na nejaké teleso pôsobiť konštantnou silou, po získaní rýchlosti by na teleso začala pôsobiť [[sila odporu prostredia]] ([[odporová sila]], <math>\vec F_O</math>), napríklad odpor vzduchu. Táto sila rastie spolu s <math>\vec v</math> pohybujúceho sa telesa a závisí aj od prostredia ako aj od tvaru a rozmerov pohybujúceho sa telesa. Jej smer je rovnaký ako smer pohybu (teda smer <math>\vec v</math>), ale jej orientácia je opačná voči orientácii pohybu (teda orientácii <math>\vec v</math>). Preto napríklad pri obdobe voľného pádu prebiehajúcej mimo vákua {{#tag:ref|V tejto vete je použitý výraz „obdoba“ voľného pádu preto, lebo samotný voľný pád je definovaný tak, že prebieha vo vákuu, takže mimo vákua treba zvoliť iné označenie|group=pozn}} nie je <math>\vec a</math> konštantné, ale s narastajúcim <math>\vec v</math> klesá, pretože proti tiažovej sile padajúceho telesa (<math>\vec F_G = m\vec g</math>) pôsobí stále väčšia odporová sila vzduchu (<math>\vec F_O</math> = kladná funkcia <math>\vec v</math>).

==== Relativistická mechanika ====
Vyššie sme vychádzali z klasickej mechaniky, v ktorej sa predpokladá, že hmotnosť nie je funkciou rýchlosti, a teda musí platiť <math>\vec F = m\vec a</math>, pričom <math>\vec m</math> je konštantné a kladné (Ak chceme zohľadniť možnosť, že sa hmotnosť telesa môže meniť – čo je v klasickej mechanike možné len fyzickým odobratím resp. pridaním „hmoty“ do resp. z telesa počas jeho pohybu – tak musíme použiť presnejší vzorec <math>\vec F = \frac{d\left ( m \vec v \right )}{dt} = \frac{dm}{dt}\vec v + m\vec a</math>). Zo vzorcov <math>\vec F = m \vec a</math> (alebo <math>\vec F = \frac{d\left ( m \vec v \right )}{dt}</math>) a <math>\vec v = \vec v_0 + \vec a \Delta t</math> vyplýva, že pri konštantnom <math>\vec a</math> je konštantné aj <math>\vec F</math> a <math>\vec v</math> môže byť ľubovoľne veľké. Čiže pri pohybe s konštantným zrýchlením (inak povedané: pri konštantnej sile) môže teleso po dostatočne dlhom čase dosiahnuť ľubovoľnú rýchlosť, teda môže prekročiť aj [[rýchlosť svetla vo vákuu]] (<math>c</math>), čo však (podľa súčasného stavu poznania) nie je možné. Všetky výskyty značky m použité v tomto odseku možno – vzhľadom na potreby textu nasledujúceho odseku – nahradiť aj značkou <math>\vec m_0</math>.
Relativistická mechanika (teória relativity) naopak predpokladá, že hmotnosť je funkciou rýchlosti (platí to najmä pri veľmi vysokých rýchlostiach), konkrétne <math>m = \frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{\left | \vec v \right |^2}{c^2}}}</math>, kde <math>m_0</math> je pokojová hmotnosť telesa, čo je zároveň hmotnosť z klasickej mechaniky. Takto vypočítané <math>m</math> nazývame aj relativistická hmotnosť. Z tohto vzorca vidno, že:
* ak je <math>\left | \vec v \right |</math> malé, tak dostaneme približne <math>m=m_0</math>, čiže dostaneme prípad klasickej mechaniky, kde hmotnosť nie je funkciou rýchlosti a je teda konštantná 
* ak je <math>\left | \vec v \right |</math> také veľké, že sa blíži k <math>c</math>, tak je <math>m</math> veľmi veľké
* <math>\left | \vec v \right | < c</math> (inak by výraz <math>m = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{\left | \vec v \right |^2}{c^2}}}</math> obsahoval deleniu nulou)
Po dosadení <math>m = \frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{\left | \vec v \right |^2}{c^2}}}</math> do <math>\vec F = \frac{d\left ( m \vec v \right )}{dt} = \frac{dm}{dt}\vec v + m\vec a</math> sa dá ukázať, že <math>\vec F</math> už nemá ako v klasickej mechanike rovnaký smer ako <math>\vec a</math> a okrem to sa dá ukázať, že:
* pre malé <math>\left | \vec v \right |</math> dostaneme takmer konštantné <math>m</math>, a teda konštantné <math>\vec F</math> pôsobiace na teleso spôsobí konštantné <math>\vec a</math>, čiže spôsobí pohyb s konštantným zrýchlením (čiže približne <math>\vec F = 0 + m \vec a=m \vec a</math>)
*pre veľké <math>\left | \vec v \right |</math> blížiace sa k <math>c</math> naopak dostaneme obrovské <math>m</math>, ktoré prudko rastie, a teda konštantné <math>\vec F</math> pôsobiace na teleso spôsobí klesajúce <math>\vec a</math>, čiže spôsobí pohyb s nekonštantným zrýchlením.

Súhrnne teda: Pri bežnej veľkosti rýchlosti telesa konštantná sila pôsobiaca na teleso spôsobí jeho pohyb s konštantným zrýchlením. To znamená, že rýchlosť telesa bude neustále konštantne narastať. Nedosiahne však ľubovoľne veľkú hodnotu, pretože pri veľkosti rýchlosti telesa blízkej rýchlosti svetla vo vákuu už konštantná sila pôsobiaca na teleso spôsobí (obrovský nárast hmotnosti telesa a teda), že teleso prejde z pohybu s konštantným zrýchlením do pohybu so zmenšujúcim sa zrýchlením. Rýchlosť svetla vo vákuu teleso nakoniec nikdy nedosiahne.

== Poznámky ==
<references group=pozn/>

== Zdroje ==
*Prvá časť článku: pozri zdroje v článku [[rýchlosť (fyzikálna veličina)]], najmä v kapitole “Vzorce rýchlosti pre rôzne druhy pohybov”
*Kapitola Silové pôsobenie (kinetika): 
**{{Citácia elektronického dokumentu| priezvisko = Zajíc| meno = Jan| autor = | odkaz na autora = | titul = Fyzika 1| url = http://kf.upce.cz/dfjp/F1_16.pdf| vydavateľ = Univerzita Pardubice – Fakulta chemicko-technologická| dátum vydania = 2016| dátum aktualizácie = | dátum prístupu = 2016-04-07| miesto = | jazyk = }}{{Nedostupný zdroj|date=október 2023 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }} s. 36, 68, 70 – 74, 75
**{{Citácia knihy | priezvisko = Sexl | meno = Roman | autor = | odkaz na autora = | priezvisko2 = Raab | meno2 = Ivo | autor2 = | odkaz na autora2 = | priezvisko3 = Streeruwitz | meno3 = Ernst | autor3 = | odkaz na autora3 = | titul = Physik. 1 | vydanie = | vydavateľ = Ueberreuter, Verlag Hölder-Pichler-Tempsky | miesto = Wien| rok = 1989 | isbn = 3-209-00803-5 | kapitola = | strany = 48| jazyk = }}
**{{Citácia elektronického dokumentu| priezvisko = Králík| meno = Jiří| autor = | odkaz na autora = | titul = Úvod do studia fyziky – studijní text pro kombinované studium| url = http://chemistry.ujep.cz/userfiles/files/Uvod_do_fyziky.pdf| vydavateľ = Katedra chemie PřF UJEP| dátum vydania = | dátum aktualizácie = | dátum prístupu = 2016-08-25| miesto = | jazyk = | url archívu = https://web.archive.org/web/20160917150832/http://chemistry.ujep.cz/userfiles/files/Uvod_do_fyziky.pdf| dátum archivácie = 2016-09-17}} s. 51-57
**tiaž. In: ''[[Pyramída (encyklopedický časopis)|Pyramída]]
**tíhová síla In: ''Technický slovník naučný 8 T{{--}}Ž''. Praha : Encyklopedický dům, 2005. ISBN 80-7335-080-7. s. 102
**tíhové zrychlení In: ''Technický slovník naučný 8 T{{--}}Ž''. Praha : Encyklopedický dům, 2005. ISBN 80-7335-080-7. s. 102, 103
**Tíha a tíhová síla In: {{Citácia elektronického dokumentu | priezvisko =Reichl| meno = Jaroslav| autor = | odkaz na autora = | titul = Encyklopedie fyziky | url = http://fyzika.jreichl.com/main.article/view/61-tiha-a-tihova-sila | vydavateľ = Jaroslav Reichl a Martin Všetička | dátum vydania = | dátum aktualizácie = | dátum prístupu = 2016-08-25 | miesto = | jazyk = }}
**PIŠÚT et al.: Fyzika pre 4. ročník gymnázií. Bratislava: SPN, 1993. str. 121-122
**{{Citácia knihy | priezvisko = Demtröder | meno = Wolfgang | autor = | odkaz na autora = | titul = Experimentalphysik 1 (Mechanik und Wärme) | vydanie = | vydavateľ = Springer Spektrum| miesto = Berlin; Heidelberg| rok = 2008 | isbn = 978-3-540-79294-9 | kapitola = | strany = 130| jazyk = }}

[[Kategória:Kinematika]]