Zobrazenie zdroja stránky Podgrupa

V [[Matematika|matematike]] sa pojmom '''podgrupa''' [[Grupa (matematika)|grupy]] ''G'' = (G, *) označuje grupa ''H'' = (H, *<sub>H</sub>), ak je H [[Podmnožina|podmnožinou]] G a *<sub>H</sub> je podmnožinou [[Zobrazenie (matematika)|operácie]] *.

V nasledujúcom texte sa namiesto zápisu ''a''*''b'' používa skrátené ''ab''.

== Základné vlastnosti podgrup ==
* Podgrupa je grupa
* ''H'' je podgrupa grupy ''G'', práve keď je neprázdna a je uzavretá na operáciu * (to znamená, že ak ''a'', ''b'' ∈ ''H'', potom ''ab'' ∈ ''H'') a na inverziu (tzn. ak ''a'' ∈ ''H'', potom ''a''<sup>-1</sup> ∈ ''H'')
* [[Neutrálny prvok]] v ''G'' sa rovná neutrálnemu prvku v ''H''
* [[Inverzný prvok]] v ''G'' sa rovná inverznému prvku v ''H''

== Osobitné prípady podgrup ==
* Každá grupa obsahuje dve tzv. '''nevlastné podgrupy''' (tiež '''triviálne podgrupy'''), seba samu a podgrupu obsahujúcu len neutrálny prvok (tá je vlastne zároveň [[Triviálna grupa|triviálnou grupou]]).<ref>{{Citácia knihy | titul = Algebra a teoretická aritmetika, I. díl | vydavateľ = Státní pedagogické nakladatelství | rok = 1983 | priezvisko = Blažek | meno = Jaroslav | priezvisko2 = Calda | meno2 = Emil | spoluautori = aj. | stránky = 90}}</ref> Ostatné podgrupy označujeme ako '''vlastné''' (alebo '''netriviálne''').
* Ak je ''S '' podmnožina G, existuje najmenšia podgrupa grupy ''G'' obsahujúca ''S''. Táto podgrupa sa značí <''S''> a volá sa podgrupa generovaná množinou ''S '' (v prípade, že ''S'' je jednoprvková, píšeme podgrupu ako <''a''> miesto <''{a}''>).
* Zvlášť významné sú [[Normálna podgrupa|normálne podgrupy]] spĺňajúce <math>\forall g \in G \quad g \cdot H \equiv \{g \cdot h, h \in H \} = \{h \cdot g, h \in H \} \equiv H \cdot g  </math>

== Referencie ==
<references />
*{{Preklad|cs|Podgrupa|10687426}}

[[Kategória:Teória grúp]]