Zobrazenie zdroja stránky Medián

[[Súbor:Finding the median.png|náhľad|Nájdenie mediánu v množine s nepárnym počtom prvkov a v množine s párnym počtom prvkov]]

'''Medián''' alebo '''stredná hodnota (znaku)''' alebo '''centrálna hodnota (znaku)''' (označuje sa Med(x) alebo <math>\tilde x</math>) je hodnota, ktorá rozdeľuje postupnosť podľa veľkosti usporiadaných výsledkov na dve rovnako početné polovice. V [[štatistika|štatistike]] patrí medzi [[Stredná hodnota (stred súboru)|stredné hodnoty]]. Platí, že najmenej 50 % hodnôt je nižších alebo sa rovná mediánu a najmenej 50 % hodnôt je vyšších alebo sa rovná mediánu.

Na nájdenie mediánu daného súboru stačí hodnoty usporiadať podľa veľkosti a zobrať hodnotu, ktorá sa nachádza v strede zoznamu. Ak má súbor [[párne číslo|párny]] počet prvkov, zvyčajne sa za medián označí [[aritmetický priemer]] hodnôt na mieste n/2 a (n+2)/2, ktoré sa nachádzajú v oblasti prostrednej hodnoty.

Všeobecne sa za medián dá označiť viacero čísel. V už spomenutom prípade párneho počtu prvkov neexistuje jediná prostredná hodnota. Platí však, že polovica hodnôt je menšia alebo rovná a polovica prvkov je väčšia alebo rovná, nech sa už za medián zvolí ľubovoľné z obidvoch prostredných čísel. To isté dokonca platí aj pre ľubovoľné číslo, ktorého veľkosť leží medzi týmito dvoma číslami. Preto sa ako medián takého súboru môže zobrať ľubovoľné z oboch prostredných čísel aj ľubovoľné z čísel medzi nimi.

== Výhody a nevýhody mediánu ==
Základná výhoda mediánu, ako štatistického ukazovateľa je tá skutočnosť, že nie je ovplyvnený [[extrém]]nymi hodnotami. Preto sa často používa aj v prípade šikmých rozdelení, pri ktorých aritmetický priemer poskytuje zvyčajne nevhodné výsledky. Napr. v súbore { 1, 2, 2, 3, 9 } sa medián (tak isto ako [[Modus (najčastejšia hodnota)|modus]]) rovná dvom, čo je viditeľne vhodnejší ukazovateľ prevažujúcej tendencie, ako aritmetický priemer, ktorý tu je 3,4.

Ďalšia výhoda je tá, že medián sa dá definovať na každom súbore [[úplne usporiadaná množina|lineárne usporiadanom]] podmienkou „menší alebo sa rovná“, aj keď nejde o súbor čísel. Napríklad medián súboru {absolvent ZŠ, vyučený, vyučený s maturitou, vysokoškolák} sa rovná hodnote „vyučený“, ak kategórie vzdelania považujeme za usporiadané podľa náročnosti školy.

Nevýhodné je použiť medián pri súboroch, v ktorých sledovaný znak nadobúda len jednu z dvoch možností. Tam sa medián správa rovnako ako modus: je hrubým meradlom vlastností rozdelenia a v prípade, že obidve kategórie sú zastúpené zhruba rovnako, je veľmi nestabilný.

== Teoretické vlastnosti ==
V prípade [[rozdelenie pravdepodobnosti|rozdelenia pravdepodobnosti]] je mediánom číslo ''m'', ktoré spĺňa rovnosť ''P''(''X'' ≤ ''m'') ≥ 0,5 a ''P''(''X'' ≥ ''m'') ≥ 0,5. V prípade spojitého rozdelenia zadaného [[hustota pravdepodobnosti|hustotou pravdepodobnosti]] ''f'' pre medián platí:
: <math>\int\limits_{-\infty}^{m}\!\! f(x) \,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}</math>.

Medián nie je vždy určený jednoznačne. 

Medián je tiež odhad strednej hodnoty, ktorý minimalizuje absolútnu chybu. V predchádzajúcom príklade je táto chyba pri použití mediánu rovná 1 + 0 + 0 + 1 + 7 = 9, zatiaľčo pri použití aritmetického priemeru by bola rovná 2,4 + 1,4 + 1,4 + 0,4 + 5,6 = 11,2. To znamená, že číslo ''m'', ktoré minimalizuje hodnotu <math>E(|X - m |)</math>, je mediánom rozdelenia náhodnej veličiny ''X''.

Pre rozdelenie majúce definovanú strednú hodnotu a medián platí, že rozdiel medzi mediánom a aritmetickým priemerom daného rozdelenia je menší alebo rovný jednej [[smerodajná odchýlka|smerodajnej odchýlke]].

== Medián ako kvantil ==
Medián je najpoužívanejší [[kvantil]] (konkrétne kvantil deliaci súbor na dve časti). Okrem mediánu sa veľmi často používajú ''kvartily'' (súbor sa rozdeľuje na štyri časti), ''decily'' (na desať častí) a ''percentily'' (na sto častí)<ref>{{Citácia elektronického dokumentu
 | priezvisko = 
 | meno = 
 | odkaz na autora = 
 | vydavateľ =  https://matematika.cz
 | titul = Median
 | url = https://matematika.cz/median
 | dátum vydania = 
 | dátum prístupu = 2019-7-29
 | miesto = 
 | jazyk = český
}}</ref>.

== Referencie ==
<references />

== Pozri aj ==
* [[Aritmetický priemer]]
* [[Geometrický priemer]]
* [[modus (najčastejšia hodnota)|Modus]]
* [[Kvantil]]
* [[Mezikvartilové rozpätie]]

== Externé odkazy ==
* [http://www.fhpv.unipo.sk/cvt/statistika/zlacka/geoinfo3.pdf Stredné hodnoty (Momenty polohy)]

[[Kategória:Štatistika]]