Zobrazenie zdroja stránky Magický štvorec

'''Magický štvorec''' je štvorcová tabuľka typu <math>n \times n</math>, ktorá obsahuje v každom poli prirodzené číslo pričom súčet čísel v každom stĺpci, v každom riadku a v každej uhlopriečke je rovnaký a žiadne dve čísla nie sú rovnaké. V tradičných magických  štvorcoch sú čísla navyše z rozsahu <math>1</math> až <math>n^2</math> a súčet je rovný <math>\frac{n(n^2+1)}{2}</math>.

Konštanta, ktorá je súčtom každého riadku, stĺpca a uhlopriečky sa nazýva '''magická konštanta'''.<ref>{{Citácia elektronického dokumentu 
 | priezvisko = 
 | meno = 
 | odkaz na autora = 
 | vydavateľ = dmoz.org
 | titul = 
 | url = https://www.dmoz.org/Science/Math/Recreations/Magic_Square
 | dátum vydania = 
 | dátum prístupu = 2016-6-29
 | miesto = 
 | jazyk = [[angličtina]]
}}</ref>
== Identické magické štvorce ==
Každý magický štvorec možno otáčať, čím je možné vytvoriť 8 nových magických štvorcov (4 otočením podľa stredu súmernosti, 2 otočením okolo diagonál a 2 okolo osí súmernosti prechádzajúcich stredmi protiľahlých strán). Týchto 8 magických štvorcov je považovaných za rovnocenné a hovoríme, že tvoria jednu triedu ekvivalencie.

== Počet rôznych tradičných magických štvorcov ==
Magické štvorce existujú pre každé prirodzené číslo '''n''' okrem čísla 2. 
Počet riešení s rastúcim n prudko narastá.
Pre číslo 1 ide o triviálny magický štvorec. Pre '''n=3''' existuje jediná trieda ekvivalencie magických štvorcov. Pre '''n=4''' ich je 880. Pre n=5 ich je 275305224. Už pre n=6 sa zatiaľ nepodarilo spočítať počet tried ekvivalencie, je stanovený iba odhadom na 
(1.7745 ± 0.0016) × 10<sup>19</sup>
<ref>Pinn K. and Wieczerkowski C., (1998) [http://arxiv.org/abs/cond-mat/9804109 "Number of Magic Squares From Parallel Tempering Monte Carlo"], ''Int. J. Mod. Phys. C'' '''9''' 541</ref><ref name=Arxiv>[http://arxiv.org/abs/cond-mat/9804109 "Number of Magic Squares From Parallel Tempering Monte Carlo], arxiv.org, April 9, 1998. Retrieved November 2, 2013.</ref><ref>{{Citácia elektronického dokumentu
 | priezvisko = 
 | meno = 
 | odkaz na autora = 
 | vydavateľ = http://www.mathematische-basteleien.de
 | titul = Magic Square
 | url = http://www.mathematische-basteleien.de/magsquare.htm
 | dátum vydania =  2010
 | dátum prístupu = 2016-9-7
 | miesto = 
 | jazyk = english
}}</ref>

Doteraz je nevyriešeným matematickým problémom, koľko existuje tradičných magických štvorcov pre ľubovoľné číslo n.

Pripočítaním nejakej konštanty ku každému číslu existujúceho magického štvorca, získame nový magický štvorec s inou magickou konštantou. V tomto slova zmysle je magických štvorcov nekonečne veľa.

== Prvočíselné magické štvorce ==
Zvláštnym prípadom magických štvorcov sú magické štvorce, v ktorých všetky čísla sú [[prvočíslo|prvočísla]]. Jeden z takýchto štvorcov zostrojil
[[Rudolf Ondrejka]]:

{| class="wikitable" style="margin-left:auto;margin-right:auto;text-align:center;width:7em;height:7em;table-layout:fixed;"
|-
| 17 || 89 || 71
|-
| 113 || 59 || 5
|-
| 47 || 29 || 101
|}

== História == 
[[Image:Magicsquareexample.svg|thumb|Obrázok č. 1]]
Už od staroveku prejavovali matematici záujem o tvorbu magických štvorcov. Pravdepodobne prvý magický štvorec, ktorý bol vytvorený je znázornený na obrázku č. 1. Jeho pôvod je zahalený v mystických legendách starovekej Číny. Tento magický štvorec sa popisuje v legendách o Luo Shu okolo roku 650 p.n.l. 

== Magické štvorce a astrológia ==
Magickým štvorcom sa prisudzovali mystické vlastnosti. Astrológovia nasledujúce magické štvorce priradili jednotlivým nebeským telesám:<ref name="DruryDict">{{cite book |last=Drury |first=Nevill |authorlink=Nevill Drury |title=Dictionary of Mysticism and the Esoteric Traditions |year=1992 |location=Bridport, Dorset |publisher=Prism Press |isbn=1-85327-075-X}}</ref>


{{col-begin|width=auto; margin:0.5em auto}}
{{col-break|valign=bottom}}
{| class="wikitable" style="margin-left:auto;margin-right:auto;text-align:center;width:6em;height:6em;table-layout:fixed;"
|-
! colspan="3" | [[Saturn]]=15
|-
| 4 || 9 || 2
|-
| 3 || 5 || 7
|-
| 8 || 1 || 6
|}
{{col-break|valign=bottom|gap=1em}}
{| class="wikitable" style="margin-left:auto;margin-right:auto;text-align:center;width:8em;height:8em;table-layout:fixed;"
|-
! colspan="4" | [[Jupiter]]=34
|-
| 4 || 14 || 15 || 1
|-
| 9 || 7 || 6 || 12
|-
| 5 || 11 || 10 || 8
|-
| 16 || 2 || 3 || 13
|}
{{col-break|valign=bottom|gap=1em}}
{| class="wikitable" style="margin-left:auto;margin-right:auto;text-align:center;width:10em;height:10em;table-layout:fixed;"
|-
! colspan="5" | [[Mars]]=65
|-
| 11 || 24 || 7 || 20 || 3
|-
| 4 || 12 || 25 || 8 || 16
|-
| 17 || 5 || 13 || 21 || 9
|-
| 10 || 18 || 1 || 14 || 22
|-
| 23 || 6 || 19 || 2 || 15
|}
{{col-break|valign=bottom|gap=1em}}
{| class="wikitable" style="margin-left:auto;margin-right:auto;text-align:center;width:12em;height:12em;table-layout:fixed;"
|-
! colspan="6" | [[Slnko]]=111
|-
| 6 || 32 || 3 || 34 || 35 || 1
|-
| 7 || 11 || 27 || 28 || 8 || 30
|-
| 19 || 14 || 16 || 15 || 23 || 24
|-
| 18 || 20 || 22 || 21 || 17 || 13
|-
| 25 || 29 || 10 || 9 || 26 || 12
|-
| 36 || 5 || 33 || 4 || 2 || 31
|}
{{col-end}}
{{col-begin|width=auto; margin:0.5em auto}}
{{col-break|valign=bottom}}
{| class="wikitable" style="margin-left:auto;margin-right:auto;text-align:center;width:14em;height:14em;table-layout:fixed;"
|-
! colspan="7" | [[Venuša]]=175
|-
| 22 || 47 || 16 || 41 || 10 || 35 || 4
|-
| 5 || 23 || 48 || 17 || 42 || 11 || 29
|-
| 30 || 6 || 24 || 49 || 18 || 36 || 12
|-
| 13 || 31 || 7 || 25 || 43 || 19 || 37
|-
| 38 || 14 || 32 || 1 || 26 || 44 || 20
|-
| 21 || 39 || 8 || 33 || 2 || 27 || 45
|-
| 46 || 15 || 40 || 9 || 34 || 3 || 28
|}
{{col-break|valign=bottom|gap=1em}}
{| class="wikitable" style="margin-left:auto;margin-right:auto;text-align:center;width:16em;height:16em;table-layout:fixed;"
|-
! colspan="8" | [[Merkúr]]=260
|-
| 8 || 58 || 59 || 5 || 4 || 62 || 63 || 1
|-
| 49 || 15 || 14 || 52 || 53 || 11 || 10 || 56
|-
| 41 || 23 || 22 || 44 || 45 || 19 || 18 || 48
|-
| 32 || 34 || 35 || 29 || 28 || 38 || 39 || 25
|-
| 40 || 26 || 27 || 37 || 36 || 30 || 31 || 33
|-
| 17 || 47 || 46 || 20 || 21 || 43 || 42 || 24
|-
| 9 || 55 || 54 || 12 || 13 || 51 || 50 || 16
|-
| 64 || 2 || 3 || 61 || 60 || 6 || 7 || 57
|}
{{col-break|valign=bottom|gap=1em}}
{| class="wikitable" style="margin-left:auto;margin-right:auto;text-align:center;width:18em;height:18em;table-layout:fixed;"
|-
! colspan="9" | [[Mesiac]]=369
|-
| 37 || 78 || 29 || 70 || 21 || 62 || 13 || 54 || 5
|-
| 6 || 38 || 79 || 30 || 71 || 22 || 63 || 14 || 46
|-
| 47 || 7 || 39 || 80 || 31 || 72 || 23 || 55 || 15
|-
| 16 || 48 || 8 || 40 || 81 || 32 || 64 || 24 || 56
|-
| 57 || 17 || 49 || 9 || 41 || 73 || 33 || 65 || 25
|-
| 26 || 58 || 18 || 50 || 1 || 42 || 74 || 34 || 66
|-
| 67 || 27 || 59 || 10 || 51 || 2 || 43 || 75 || 35
|-
| 36 || 68 || 19 || 60 || 11 || 52 || 3 || 44 || 76
|-
| 77 || 28 || 69 || 20 || 61 || 12 || 53 || 4 || 45
|}
{{col-end}}

== Magický štvorec s operáciou násobenia ==

Možno zostrojiť aj magické štvorce v ktorých sa namiesto operácie sčítania použije násobenie. Konštrukcia takých štvorcov je jednoduchá. Ak máme obyčajný magický štvorec, vieme ho transformovať na násobkový, keďže pre čísla a, b, c platí:
:2<sup>''a''</sup>, 2<sup>''b''</sup> a 2<sup>''c''</sup>, ich násobok je 2<sup>''a''+''b''+''c''</sup>

Do štvorca dáme teda mocniny s mocniteľmi rovnými pôvodným  číslam. Príklady:

{| class="wikitable" style="margin:0.5em auto;text-align:center;width:9em;height:9em;table-layout:fixed;"
|-
! colspan="3" | ''M'' = 32 768
|-
| 16 || 512 || 4
|-
| 8 || 32 || 128
|-
| 256 || 2 || 64
|}



{{col-begin|width=auto;margin:0.5em auto}}
{{col-break|valign=bottom}}
{| class="wikitable" style="margin-left:auto;margin-right:auto;text-align:center;width:6em;height:6em;table-layout:fixed;"
|-
! colspan="3" | ''M'' = 216
|-
| 2 || 9 || 12
|-
| 36 || 6 || 1
|-
| 3 || 4 || 18
|}
{{col-break|valign=bottom|gap=1em}}
{| class="wikitable" style="margin-left:auto;margin-right:auto;text-align:center;width:8em;height:8em;table-layout:fixed;"
|-
! colspan="4" | ''M'' = 6 720
|-
| 1 || 6 || 20 || 56
|-
| 40 || 28 || 2 || 3
|-
| 14 || 5 || 24 || 4
|-
| 12 || 8 || 7 || 10
|}
{{col-break|valign=bottom|gap=1em}}
{| class="wikitable" style="margin-left:auto;margin-right:auto;text-align:center;width:18em;height:12em;table-layout:fixed;"
|-
! colspan="7" | ''M'' = 6 227 020 800
|-
|27 ||50 ||66 ||84 ||13 ||2 ||32
|-
|24 ||52 ||3 ||40 ||54 ||70 ||11
|-
|56 ||9 ||20 ||44 ||36 ||65 ||6
|-
|55 ||72 ||91 ||1 ||16 ||36 ||30
|-
|4 ||24 ||45 ||60 ||77 ||12 ||26
|-
|10 ||22 ||48 ||39 ||5 ||48 ||63
|-
|78 ||7 ||8 ||18 ||40 ||33 ||60
|}
{{col-end}}

== Konštrukcia magických štvorcov ==
Je dokázané, že pre každé prirodzené číslo '''n''' okrem 2 existuje magický štvorec. Existuje niekoľko algoritmov, ako magický štvorec vytvoriť. Magické štvorce z hľadiska konštrukcie možno klasifikovať na tri druhy podľa čísla '''n''',  pre každý druh existuje iný algoritmus zostrojenia: sú to nepárne, jednoducho párne (deliteľné 2, nedeliteľné 4) a deliteľné 4.

=== Metóda zostrojenia magických štvorcov pre n=3 ===
V 19. storočí, [[Édouard Lucas]] vymyslel všeobecné vzorce pre magické štvorce 3x3. Postup je v nasledujúcej tabuľke, kde '''a''', '''b''', '''c''' sú kladné celé čísla, s týmito vlastnosťami: 
:'''0 < a < b < c &minus; a , b ≠ 2a'''
{| class="wikitable" style="margin-left:auto;margin-right:auto;text-align:center;width:26em;height:6em;table-layout:fixed;"
|-
| ''c'' &minus; ''b''   || ''c'' + (''a'' + ''b'') || ''c'' &minus; ''a''
|-
| ''c'' &minus; (''a'' &minus; ''b'') || ''c''   || ''c'' + (''a'' &minus; ''b'')
|-
| ''c'' + ''a'' || ''c'' &minus; (''a'' + ''b'') || ''c'' + ''b''
|}

Pre všetky magické štvorce 3x3 platí, že majú vyššie uvedené vlastnosti až na symetrie.

== Referencie ==
{{Referencie}}

== Iné projekty ==
{{projekt}}

== Externé odkazy ==
* [http://math.ku.sk/~trenkler/98-CUBE.pdf Magické štvorce] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160811020924/http://math.ku.sk/~trenkler/98-CUBE.pdf |date=2016-08-11 }}
== Zdroj ==
{{Preklad|en|Magic square|734586764}}
[[Kategória:Teória čísel]]
[[Kategória:Rekreačná matematika]]
[[Kategória:Astrológia]]