Zobrazenie zdroja stránky Limita

'''Limita''' je v matematike hodnota, ku ktorej sa "približuje" premenlivá hodnota. 

Limita funkcie sa používa na opis správania sa [[zobrazenie (matematika)|funkcie]], keď sa jej [[argument]] "približuje" k nejakému bodu alebo rastie do [[Nekonečno_(matematika)|nekonečna]]. Limity sa využívajú v [[matematická analýza|matematickej analýze]] na definovanie [[derivácia (funkcia)|derivácie]] a [[spojitá funkcia|spojitosti]].

Koncept "limity funkcie" sa dá ďalej zovšeobecniť na [[topologická sieť|topologickú sieť]] a limita postupnosti úzko spojená s [[limita (teória kategórií)|limitou]] a [[priama limita|priamou limitou]] v [[teória kategórií|teórii kategórií]].

== Limita funkcie ==
Nech ''f'' je reálna funkcia a ''c'' je reálne číslo. Výraz:

:<math> \lim_{x \to c}f(x) = L </math>

znamená, že hodnota ''f''(''x'') sa dá ľubovoľne priblížiť k ''L'' tak, že sa ''x'' dostane dostatočne blízko k ''c''. Potom hovoríme, že "limita funkcie ''f'' v bode ''c'' (alebo ako sa ''f'' približuje k ''c'') je ''L''". Limita môže existovať dokonca aj keď <math>f(c) \neq L</math>. Funkcia ''f'' nemusí byť ani definovaná v bode ''c''.

Uvažujme <math> f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} </math> ako sa ''x'' približuje k 2. V tomto prípade je funkcia ''f'' definovaná v bode 2 a jej hodnota 0,4 sa rovná limite v tomto bode:

{| class="wikitable"
|f(1.9)||f(1.99)||f(1.999)||f(2)||f(2.001)||f(2.01)||f(2.1)
|-
|0.4121||0.4012||0.4001||<math>\Rightarrow</math> 0.4 <math>\Leftarrow</math>||0.3998||0.3988||0.3882
|}

Ako sa ''x'' približuje k 2, hodnoty ''f''(''x'') sa približujú k 0,4 a preto môžeme napísať <math>\lim_{x\to 2}f(x)=0.4</math>.

Ale nie vždy je to také jednoduché.

Uvažujme

:<math>g(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{x}{x^2+1}, & \mbox{ak }x\ne 2 \\ \\ 0, & \mbox{ak }x=2. \end{matrix}\right.</math>

Limita funkcie ''g'' ako sa ''x'' približuje k 2 je 0,4 (tak ako v prípade funkcie ''f''), ale <math>\lim_{x\to 2}g(x)\neq g(2)</math>; funkcia ''g'' nie je spojitá v bode ''x'' = 2.

Alebo majme ešte funkciu ''f'', ktorá je nedefinovaná v bode ''x'' = ''c''.

:<math> f(x) = \frac{x - 1}{\sqrt{x} - 1} </math>

V tomto prípade ako sa ''x'' približuje k 1, funkcia ''f'' je nedefinovaná v bode ''x'' = 1, ale jej limita v tomto bode existuje a rovná sa 2:

{| class="wikitable"
|f(0.9)||f(0.99)||f(0.999)||f(1.0)||f(1.001)||f(1.01)||f(1.1)
|-
|1.95||1.99||1.999||<math>\Rightarrow</math> nedef. <math>\Leftarrow</math>||2.001||2.010||2.10
|}

Teda ''x'' sa môže približovať k 1, pokiaľ sa nebude rovnať 1, takže limita funkcie ''f'' v bode 1 je 2.

=== Formálna definícia ===
Limitu formálne definujeme nasledovne:

Nech <math>f</math> je funkcia a bod ''c'' je [[hromadný bod]] na jej [[definičný obor|definičnom obore]] (teda v každom [[prstencové okolie|prstencovom okolí]] bodu ''c'' sa nachádza aspoň jeden prvok z definičného oboru funkcie ''f''). Nech ''L'' je reálne číslo. Potom zápis

:<math> \lim_{x \to c}f(x) = L </math>

znamená, že pre každé <math> \varepsilon\ >0</math> existuje <math> \delta\ >0</math> také, že pre všetky <math> x </math>, kde <math>0<|x-c|< \delta\ </math>, platí <math>| f (x)-L|< \varepsilon\ </math>.

=== Limita funkcie v nekonečne ===
Limitu funkcie môžeme rozšíriť z prípadov približovania sa k reálnemu číslu na približovanie sa k [[nekonečno|nekonečnu]]. V týchto prípadoch toto približovanie sa k nekonečnu vlastne znamená, že ''x'' je stále väčšie a väčšie ("približuje" sa ku kladnému nekonečnu) alebo je stále menšie a menšie ("približuje" sa k zápornému nekonečnu).

Majme napríklad funkciu <math>f(x) = \frac{2x}{x + 1}</math>.

* ''f''(100) = 1.9802
* ''f''(1000) = 1.9980
* ''f''(10000) = 1.9998

Postupne ako sa ''x'' stáva veľmi veľkým, hodnota ''f''(''x'') sa približuje k 2 a dá sa priblížiť ľubovoľne blízko k 2 výberom dostatočne veľkého ''x''. V takomto prípade hovoríme, že limita funkcie ''f'' ako sa sa jej argument približuje k nekonečnu je 2. V matematickom zápise:

:<math> \lim_{x \to \infty} f(x) = 2. </math>

Formálne môžeme napísať túto definíciu:

:<math> \lim_{x \to \infty} f(x) = c </math> (definotoricky) len vtedy a vtedy, keď pre každé <math> \epsilon > 0 </math> existuje <math>n</math> také, že <math>|f(x) - c| < \epsilon </math> pre všetky <math> x > n. </math>
Podobnú definíciu môžeme urobiť pre <math>\lim_{x \to -\infty} f(x)=c</math>.

== Limita postupnosti ==
Uvažujme nasledujúcu postupnosť: 1,79; 1,799; 1,7999, ... Vidíme, že čísla sa postupne „približujú“ k číslu 1,8 -- limite postupnosti.

Formálne, predpokladajme, že ''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub> je [[Postupnosť (matematika)|postupnosť]] [[reálne číslo|reálnych čísel]]. Hovoríme, že reálne číslo ''L'' je ''limita'' tejto postupnosti a zapisujeme ako

:<math> \lim_{n \to \infty} x_n = L </math>

(definitoricky) len vtedy a vtedy, ak

:pre každé ε>0 existuje prirodzené číslo ''n''<sub>0</sub> také, že pre všetky ''n''>''n''<sub>0</sub> platí |''x''<sub>''n''</sub> - ''L''| < ε.

Intuitívne to znamená, že niekedy všetky prvky postupnosti sa dostanú tak blízko k limite, ako len budeme chcieť, keďže [[Absolútna hodnota (reálne a komplexné číslo)|absolútna hodnota]] |''x''<sub>''n''</sub> - ''L''| sa dá interpretovať ako vzdialenosť ''x''<sub>''n''</sub> od ''L''. Nie každá postupnosť má limitu; ak ju má, voláme ju ''konvergentná'', inak je ''divergentná''. Dá sa ukázať, že ak limita existuje, je jediná.

Limita postupnosti a limita funkcie sú, samozrejme, veľmi úzko späté. Postupnosť nie je nič iné ako funkcia definovaná na množine [[prirodzené číslo|prirodzených čísel]]. Keďže jediným [[hromadný bod|hromadným bodom]] tejto množiny je kladné [[nekonečno]], má zmysel skúmať limitu iba tu. Vyššie spomenutá definícia je len rozpísanie limity funkcie v nekonečne a ekvivalentne upravenej pre prirodzené čísla. Na druhej strane sa dá tento špeciálny prípad -- limita postupnosti -- použiť aj na definovanie limity funkcie, keďže limita funkcie ''f'' v bode ''x'' sa rovná limite postupnosti ''x''<sub>''n''</sub>=''f''(''x''+1/''n'') (ak existuje). 

Vo všeobecnej situácii je ťažké ak nie nemožné zistiť či postupnosť má limitu tým, že sa overí definícia - teda že sa nájde limita. Ak uvažujeme o postupnosti reálnych čísel a o jej (prípadnej) reálnej limite, tak máme Cauchy-Bolzanove kritérium existencie limity, ktoré neoperuje samotnou hodnotou limity: postupnosť reálnych čísel <math> \{ a_n\}</math> je konvergentná (t. j. má limitu) práve vtedy keď pre každé <math> \epsilon >0</math> existuje <math> N\in\mathbb{N}</math> že pre všetky <math> p,q>N </math> je <math> |a_p-a_q|<\epsilon </math>. Slovne povedané: postupnosť má limitu práve vtedy keď pre každú presnosť <math> \epsilon >0</math> existuje také prirodzené číslo, že ak vyberieme ľubovoľne dva prvky z postupnosti ktorých poradové číslo je väčšie ako dotyčné prirodzené číslo, tak to už zaručí, že vybrané dva prvky postupnosti sú k sebe bližšie ako <math> \epsilon >0</math>.

== Externé odkazy ==
* [https://matematika.cz/limita-funkce Limita na matematika.cz]

[[Kategória:Matematická analýza]]
[[Kategória:Vlastnosti matematických funkcií]]