Zobrazenie zdroja stránky Kvaternión

{| class="wikitable" align="right" style="text-align:center; margin-left:0.5em; max-width: 230px;"
! nowrap="" width="15" |&#x2193;&#x2009;&#xD7;&#x2009;&#x2192;
! width="15" |{{math|1}}
! width="15" |{{math|'''i'''}}
! width="15" |{{math|'''j'''}}
! width="15" |{{math|'''k'''}}
|-
!{{math|1}}
|{{math|1}}
|{{math|'''i'''}}
|{{math|'''j'''}}
|{{math|'''k'''}}
|-
!{{math|'''i'''}}
|{{math|'''i'''}}
|{{math|−1}}
|{{math|'''k'''}}
|{{math|−'''j'''}}
|-
!{{math|'''j'''}}
|{{math|'''j'''}}
|{{math|−'''k'''}}
|{{math|−1}}
|{{math|'''i'''}}
|-
!{{math|'''k'''}}
|{{math|'''k'''}}
|{{math|'''j'''}}
|{{math|−'''i'''}}
|{{math|−1}}
|-
| colspan="5" |Tabuľka násobenia kvaterniónov. Prvok vľavo sa násobí prvkom hore. Platí <math>a\mathbf{b}=\mathbf{b}a</math> a <math>-\mathbf{b} = (-1)\mathbf{b}</math> pre <math>a\in \mathbb{R} </math>, <math>\mathbf{b}  = \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}  </math>.
|}
[[File:Cayley_Q8_quaternion_multiplication_graph.svg|náhľad|Cayleyho Q8 graf, ktorý ukazuje šesť cyklov násobenia základnými prvkami {{red|'''i'''}}, {{green|'''j'''}} a {{blue|'''k'''}}. (Po rozkliknutí obrázku je možné jednotlivé cykly zvýrazniť ukázaním korzorom.)]]

'''Kvaternióny'''<ref>kvaternión. In: {{Citácia elektronického dokumentu | priezvisko = | meno = | autor = | odkaz na autora = | titul = Slovník cudzích slov (akademický) | url = https://slovnik.juls.savba.sk/?w=kvaterni%C3%B3n | vydavateľ = Jazykovedný ústav Ľ. Štúra SAV | dátum vydania = 2005 | dátum aktualizácie = | dátum prístupu = 2023-12-23 | miesto = Bratislava | jazyk = }}</ref> (z {{lat|''quaterniōn''|štvorica}})<ref>{{Citácia elektronického dokumentu | kapitola zborník = quaternion | meno = | autor = | odkaz na autora = | titul = Collins English Dictionary | url = https://www.collinsdictionary.com/dictionary/english/quaternion | vydavateľ = | dátum vydania = | dátum aktualizácie = | dátum prístupu = 2023-12-23 | miesto = | jazyk = }}</ref> sú v [[matematika|matematike]] [[komutatívnosť|nekomutatívnym]] rozšírením poľa [[komplexné číslo|komplexných čísel]] do štyroch rozmerov.<ref name="zlatos-2011" /><ref>{{Citácia elektronického dokumentu | priezvisko = | meno = | autor = | odkaz na autora = | titul = Kvaternióny | url = https://dai.fmph.uniba.sk/upload/7/7f/Kvaternion.pdf | vydavateľ = Katedra aplikovanej informatiky FMFI UK | dátum vydania = | dátum aktualizácie = | dátum prístupu = 2023-12-23 | miesto = Bratislava | jazyk = }}</ref> Zvyčajne sa zapisujú v podobe

<math display="block">a + b\ \mathbf i + c\ \mathbf j +d\ \mathbf k,</math>

kde koeficienty <math>a, b, c, d</math> sú [[Reálne číslo|reálne čísla]] a {{math|1, '''i''', '''j''', '''k'''}} sú základné vektory alebo základné prvky.<ref>{{Citácia knihy|edícia=2. ed., 2. print|titul=Matrix groups|vydavateľ=Springer|rok=1987|miesto=New York|isbn=978-0-387-96074-6|meno=Morton L.|priezvisko=Curtis|strany=10}}</ref> 

Prvýkrát kvaternióny opísal [[William Rowan Hamilton]] v roku [[1843]].<ref>{{cite journal|title=On Quaternions; or on a new System of Imaginaries in Algebra|journal=Letter to John T. Graves|date=17 October 1843}}</ref><ref>{{cite book|url=https://books.google.com/books?id=DRLpAFZM7uwC&pg=PA385|title=The history of non-euclidean geometry: Evolution of the concept of a geometric space|year=1988|publisher=Springer|first=Boris Abramovich|last=Rozenfelʹd|page=385|isbn=9780387964584}}</ref><ref name="zlatos-2011">{{Citácia knihy | priezvisko = Zlatoš | meno = Pavol | autor = | odkaz na autora = | titul = Lineárna algebra a geometria | vydanie = | vydavateľ = Fakulta matematiky, fyziky a informatiky UK | miesto = Bratislava | rok = 2011 | počet strán = 808 | url = http://thales.doa.fmph.uniba.sk/zlatos/la/LAG_A4.pdf#page=691 | isbn = | kapitola = | strany = 691{{--}}714 | jazyk = }}</ref> Najprv boli považované za nevhodné a umelo vykonštruované objekty, pretože porušovali [[Komutatívnosť|komutatívny zákon]]'', ab'' = ''ba'', postupne ale našli uplatnenie tak v [[Teoretická fyzika|teoretickej fyzike]], ako aj v [[Aplikovaná matematika|aplikovanej matematike]] (hoci sa často ich použitiu možno za určitú cenu vyhnúť pomocou [[vektor (matematika)|vektorov]]). V skutočnosti je medzi kvaterniónmi a štvorrozmernými vektormi principiálny rozdiel: operácia [[Delenie (matematika)|delenia]] je medzi dvoma kvaterniónmi definovaná, zatiaľ čo medzi dvoma vektormi táto operácia vôbec neexistuje.

== Definícia ==

Zatiaľ čo komplexné čísla sú vytvorené z [[reálne číslo|reálnych]] pridaním prvku  ''i'' spĺňajúceho ''i''<sup>2</sup> = −1, kvaternióny sú vytvorené pridaním prvkov ''i'', ''j'' a ''k'' tak, že sú splnené nasledujúce vzťahy.

:<math>i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1</math>

:<math>\begin{matrix}
ij & = & k, & & & & ji & = & -k, \\
jk & = & i, & & & & kj & = & -i, \\
ki & = & j, & & & & ik & = & -j. 
\end{matrix}</math>

Každý kvaternión je [[lineárna kombinácia|lineárnou kombináciou]] prvkov 1, ''i'', ''j'' a ''k'', čo znamená, že ich možno zapísať ako ''a''&nbsp;+&nbsp;''bi''&nbsp;+&nbsp;''cj''&nbsp;+&nbsp;''dk'' kde ''a'', ''b'', ''c'' a ''d'' sú reálne čísla.

=== Príklad ===

Nech

:<math>\begin{matrix}
x & = & 3 + i \\
y & = & 5i + j - 2k
\end{matrix}</math>
Potom (pri [[násobenie|násobení]] sa využívajú vzťahy uvedené vyššie)

:<math>\begin{matrix}
x + y & = & 3 + 6i + j - 2k \\
\\
xy & = & (3 + i)(5i + j - 2k)=15i + 3j - 6k + 5i^2 + ij - 2ik \\
& = & 15i + 3j - 6k - 5 + k + 2j=-5 + 15i + 5j - 5k \\
\end{matrix}</math>

== Základné vlastnosti ==
[[Množina]] kvaterniónov sa v matematike typicky označuje písmenom <math>\mathbb{H}</math> (podľa objaviteľa Hamiltona).

Kvaternióny sú asociatívna [[podielová algebra]] nad telesom reálnych čísel. Je na nich definované (pravé a ľavé) [[delenie (matematika)|delenie]] a ako množina spolu so sčítanim, násobením a delením tvorí  [[teleso (algebra)|teleso]]. Je nekomutatívne, jeho centrum je <math>\mathbb{R}</math>.

Pre kvaternión <math>h=a+bi+cj+dk</math> definujme jeho '''konjugáciu''' ako <math>\bar{h}\equiv a-bi-cj-dk</math>. Platí, že súčin <math>h\bar{h}=\bar{h}h=a^2+b^2+c^2+d^2</math>
je nezáporné reálne číslo a je rovné nule iba pre '''nulový kvaternión''' <math>h=0</math>.

[[Inverzný prvok]] ku kvaterniónu <math>h</math> je kvaternión <math>h^{-1}=\bar{h}/(h\bar{h})</math> (delenie reálnym číslom <math>h\bar{h}</math> je definované po zložkách).

'''Norma''' kvaterniónu h sa definuje ako <math>|h|\equiv\sqrt{h\bar{h}}</math>. Násobenie zachováva normu, t. j. pre kvaternióny h,q platí <math>|hq|=|h||q|</math>. Z toho vyplýva, že množina kvaterniónov normy 1 tvorí [[grupa (matematika)|grupu]]. Táto množina je topologická [[guľová plocha|sféra]] <math>S^3</math> a ako [[Liova grupa]] je izomorfná <math>SU(2)</math> (Jediné sféry, ktoré sú aj Liove grupy, sú <math>S^0, S^1</math> a <math>S^3</math>).

Grupa [[automorfizmus|automorfizmov]] kvaterniónov je izomorfná s <math>SO(3)</math> - grupou [[ortogonálna matica|ortogonálnych matíc]] typu (3,3) s jednotkovým determinantom. Prvku <math>A\in SO(3)</math> pridadíme automorfizmus <math>a+\mathbf{v}\mapsto a+A\mathbf{v}</math>, kde <math>a\in\mathbb{R}, \mathbf{v}\in\mathbb{R}^3</math> a <math>a+\mathbf{v}:=a+iv^1 +jv^2 +k v^3</math> pre <math>\mathbf{v}=(v^1, v^2, v^3)</math>. Podobne grupa všetkých automorfizmov a anti-automorfizmov je izomorfná s grupou <math>O(3)</math> (grupou ortogonálnych matíc typu (n,n)).

Algebra kvaterniónov je izomorfná s [[Cliffordova algebra|Cliffordovou algebrou]] <math>Cliff_{0,2}</math>.

== Príklady využitia ==

=== Rotácia v R^3 ===

Každý kvaternión môžeme napísať v tvare <math>a+\mathbf{v}</math>, kde <math>a\in\mathbb{R}</math> a <math>\mathbf{v}=v^1 i+ v^2 j + v^3 k</math>, kde <math>\mathbf{v}</math> chápeme ako [[vektor (matematika)|vektor]] v <math>\mathbb{R}^3</math>. Pre ľubovoľný ''rýdzo imaginárny'' kvaternión <math>\mathbf{v}</math> a ľubovoľný kvaternión <math>h\neq 0</math> platí, že <math>h\mathbf{v}h^{-1}</math> je opeť rýdzo imaginárny (t. j. vektor) a zobrazenie <math>\mathbf{v}\mapsto h\mathbf{v}h^{-1}</math> je [[rotácia]]
v <math>\mathbb{R}^3</math>. Môžeme sa obmedziť na jednotkové kvaternióny <math>|h|=1</math>. Potom platí:

:rotácia okolo osi <math>\mathbf{o}</math> o uhol <math>\varphi</math> je reprezentovaná kvaterniónom <math>h=\cos(\varphi/2)+\sin(\varphi/2)\mathbf{o}</math>, kde <math>\mathbf{o}</math> je [[jednotkový vektor]] v smere osi '''o''' (otáča sa v kladnom smere, ak sa pozeráme smerom k '''o''').

Ku každej rotácii prislúchajú 2 jednotkové kvaternióny <math>h</math> a <math>-h</math>. To okrem iného dokazuje, že trojrozmerná sféra <math>S^3</math> je 2:1 [[nakrytie]] <math>SO(3)</math>.

Zároveň je to najjednoduchší spôsob, ako rotáciu okolo nejakej osi v <math>\mathbb{R}^3</math> spočítať (ak je napríklad z neznámych dôvodov nie príliš známy).

=== Rotácia v R^4 ===

Kvaternióny môžeme prirodzene stotožniť s prvkami priestoru <math>\mathbb{R}^4</math>. Pre ľubovoľnú dvojicu jednotkových kvaterniónov <math>h,q</math> je zobrazenie <math>v\in\mathbb{H}\mapsto h v q\in\mathbb{H}</math> rotácia v <math>\mathbb{R}^4\simeq\mathbb{H}</math>. Každej rotácii <math>\mathbb{R}^4</math> prislúchajú takto práve dve dvojice jednotkových kvaterniónov <math>h,q</math> a <math>-h,-q</math>. To objasňuje štruktúru grupy <math>SO(4)</math>: plynie z toho hneď, že <math>SO(4)\simeq (S^3\times S^3)/\mathbb{Z}_2</math>.
 
=== Platónske telesá v štvorrozmernom priestore ===
Pomocou kvaterniónov možno nájsť niektoré [[Platónske teleso|platónske telesá]] v štvorrozmernom priestore. Prvým faktom, ktorý je potrebné si uvedomiť je, že žiadne [[platónske teleso]] sa nezmení, ak ho pootočíme tak, že každý vrchol prejde do vrcholu iného. Potom je potrebné si všimnúť, že ak máme štvorrozmerný vektor (''a'',''b'',''c'',''d'') a priradíme mu kvaternión <math>a+bi+cj+dk</math>, potom ak sadu takých vektorov (kvaterniónov) vynásobíme ''jednotkovým kvaterniónom'', tak sa všetky tieto vektory iba otočia. (Sú násobené jednotkovým kvaterniónom, takže sa nezmení ich veľkosť, len smery, a to lineárne.) Potom si všimneme, že v kvaterniónoch existujú [[konečná grupa|konečné]] [[grupa (matematika)|grupy]] [[uzavretá grupa|uzavreté]] voči násobeniu, ktoré majú nasledujúce členy:

:všetky [[permutácia|permutácie]] (±1, 0, 0, 0) (8 členov)

:predchádzajúca grupa + 16 štvoríc (±½, ±½, ±½, ±½)

:predchádzajúca grupa + všetky párne permutácie ½(±1, ±φ, ±1/φ, 0).

Pre každú z týchto grúp potom platí, že ak násobíme členy grupy medzi sebou, výsledkom je opäť prvok danej grupy. To ale znamená, že každá grupa predstavuje vrcholy nejakého platónskeho telesa vo štvorrozmernom priestore! To preto, že práve vtedy, keď ide o platónske teleso, je splnená vlastnosť, že pri otočení daného telesa tak, aby sa vrchol dostal do vrcholu (čomu práve násobenie jednotkovými kvaterniónmi z danej grupy zodpovedá), zostane teleso rovnaké.

== Referencie ==
{{Referencie}}

== Pozri aj ==
* [[komplexné číslo]]
* [[hyperkomplexné číslo]]
* [[oktonión]]

== Iné projekty ==
{{Projekt}}

[[Kategória:Čísla]]
[[Kategória:Lineárna algebra]]