Zobrazenie zdroja stránky Kofinál

'''Kofinál''' a '''kofinálnosť''' [[limitné ordinálne číslo|limitného ordinálneho čísla]] je [[matematika|matematický]] pojem z oblasti [[teória množín|teórie množín]] ([[ordinálna aritmetika|ordinálnej aritmetiky]]). Je to jedna zo základných charakteristík limitných ordinálnych čísel, vyjadruje „mieru prístupnosti horných úrovní ordinálneho čísla“.

== Definícia ==
Pojem '''kofinálnosti''' má zmysel definovať len pre limitné ordinálne čísla. Ďalej teda <math>\alpha,\, \beta</math> budú označovať ľubovolné ordinálne čísla a <math> \gamma,\, \delta</math> budú označovať vždy [[limitné ordinálne číslo|limitné ordinálne čísla]].

=== Kofinálna podmnožina ===
Povedzme, že [[množina]] <math>A \subseteq \gamma</math> je '''kofinálnou podmnožinou''' <math>\gamma</math>, ak existuje pre každé <math>\alpha\, <\, \gamma </math> také <math>\beta \in A</math>, že <math>\alpha\, \leq\, \beta</math>. Hovoríme tiež, že ''A'' je kofinálne s <math>\gamma</math>.

Napríklad
* množina <math>A=\{\omega + \alpha ; \alpha \in \omega \}</math> je kofinálna podmnožina ordinálu <math>\omega \,+\, \omega</math>.
* množina <math>A=\{\delta \cdot \alpha + \alpha ; \alpha \in \delta \}</math> je kofinálna podmnožina ordinálu <math>\delta \cdot \delta</math>.
* množina <math>A=\{\alef_{\alpha}; \alpha \in \gamma \}</math> je kofinálna podmnožina ordinálu <math>\alef_{\gamma}</math> pre každé <math>\gamma\,>\,\omega</math>.

=== Kofinál a kofinálnosť ===
'''Kofinálom''' [[limitný ordinál|limitného ordinálu]] <math>\gamma</math> rozumieme najmenšie [[ordinálne číslo]] <math>\alpha</math> také, že existuje [[množina]] <math>A \subseteq \gamma</math> kofinálna s <math>\gamma</math>, ktorej ordinálnym typom je <math>\alpha</math> (tj. A je <math>\in</math>-[[izomorfismus|izomorfná]] s <math>\alpha</math>). Kofinál limitného ordinálneho čísla <math>\gamma</math> sa značí <math>\, cf(\gamma)</math>.

'''Kofinálnosťou''' <math>\gamma</math> rozumieme [[mohutnosť (množina)|mohutnosť]] (kardinalitu) <math>\, cf(\gamma)</math>. Dá sa ukázať, že pre každé <math>\gamma</math> je <math>\, cf(\gamma)</math> [[kardinálne číslo]], a teda pojmy kofinál a kofinálnosť splývajú.

Napríklad
* <math>cf(\omega + \omega) \, = \, \omega</math>
* <math>cf(\delta \cdot \delta) = \delta</math>
* <math>cf(\alef_{\gamma})\,= \, cf(\gamma)</math> pre každé <math>\gamma\,>\,\omega</math>

=== Regulárny a singulárny ordinál ===
[[Limitné ordinálne číslo]], ktoré sa rovná svojej kofinálnosti sa nazýva '''regulárne'''. V opačnom prípade (ak je kofinálnosť menšia) sa nazýva '''singulárne'''.

== Vlastnosti ==
* Pre každé [[limitné ordinálne číslo]] <math>\gamma</math> platí <math>\omega \, \leq \, cf(\gamma) \, \leq \, \gamma</math>
* Pre každé [[limitné ordinálne číslo]] <math>\gamma</math> platí <math>cf(cf(\gamma)) \, = \, cf(\gamma)</math>.
* Pre všetky <math>\gamma</math> je <math>\, cf(\gamma)</math> kardinálne číslo.
Ďalej za predpokladu [[axióm výberu|axiómu výberu]]:
* Pre každé nekonečné [[kardinálne číslo]] <math>\kappa</math> platí <math>\kappa\, < \, \kappa^{cf(\kappa)}</math>.

== Pozri aj ==
* [[regulárne ordinálne číslo]]
* [[singulárne ordinálne číslo]]
* [[limitné ordinálne číslo]]

[[Kategória:Ordinálne čísla]]