Zobrazenie zdroja stránky Frobeniova veta (matice)

'''Frobeniova veta''' je tvrdenie, ktoré určuje, za akých podmienok má [[systém lineárnych rovníc]] riešenie.

== Definícia ==
Nech je daný systém ''m'' [[lineárna_rovnica|lineárnych rovníc]] s ''n'' neznámymi nad [[Pole (algebra)|poľom]] ''F'':

:<math>a_{ 11} x_1+a_{ 12} x_2+...+a_{ 1n} x_n= c_1</math>
:<math>a_{ 21} x_1+a_{ 22} x_2+...+a_{ 2n} x_n= c_2</math>
: &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;:
:<math>a_{ m1} x_1+a_{ m2} x_2+...+a_{ mn} x_n= c_m</math>

kde <math> a_{ i,j}\in F,c_{ i}\in F</math> pre všetky :<math>i=1,2,...,m, j=1,2,...,n</math>

=== Frobeniova veta ===
Systém rovníc je riešiteľný práve vtedy, keď [[hodnosť matice|hodnosť]] [[matica (matematika)|matice]] systému sa rovná hodnosti rozšírenej matice systému.

=== Príklady ===

<math>\scriptstyle 
\left(
\begin{array}{cccc|c}
& 1 & 2 & 3 & 4\\
& 0 & 5 & 6 & 7\\
& 0 & 0 & 8 & 9\\
\end{array}
\right)
</math>

Vyššie uvedená [[Matica_(matematika)|matica]] má jedno riešenie, lebo h(A) = 3, h(A′) = 3 a neobsahuje nulový riadok. Matica

<math>\scriptstyle 
\left(
\begin{array}{cccc|c}
& 1 & 2 & 3 & 4\\
& 0 & 5 & 6 & 7\\
& 0 & 0 & 0 & 0\\
\end{array}
\right)
</math>

má riešenie, lebo h(A) = 2, h(A′) = 2 a je ich nekonečne veľa, pretože obsahuje nulový riadok. Avšak matica

<math>\scriptstyle 
\left(
\begin{array}{cccc|c}
& 1 & 2 & 3 & 4\\
& 0 & 5 & 6 & 7\\
& 0 & 0 & 0 & 8\\
\end{array}
\right)
</math>

riešenie nemá, pretože h(A) = 2, h(A′) = 3, teda hodnosť matice systému sa nerovná hodnosti rozšírenej matice systému.

== Literatúra ==
* Hans, J. Bartsch: Matematické vzorce. Praha, SNTL - Nakladatelství technické literatury. 1987, s. 197
* P. Horák - Ľ. Niepel: Prehľad matematiky. Bratislava, Vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry. 1982, s. 165-167

== Pozri aj ==
* [[Matica (matematika)]]
* [[Determinant (matematika)]]

== Externé odkazy ==
* [http://www.hackmath.net/sk/kalkulacka/riesenie-sustavy-linearnych-rovnic Riešenie sústavy lineárnych rovníc ] Aplikácia, ktorá vypočíta riešenie dvoch a viacerých lineárnych rovníc.
* [http://thales.doa.fmph.uniba.sk/zlatos/la/LAG_A4.pdf  Frobeniova veta (matice)] 


{{Lineárna algebra}}

[[Kategória:Teória matíc]]
[[Kategória:Eponymické termíny v matematike]]