Zobrazenie zdroja stránky Diskriminant (matematika)

'''Diskriminant''' prislúchajúci [[Mnohočlen|polynómu]] je číslo, ktoré je súčasťou riešenia, respektíve hľadania koreňov polynómu. Diskriminantom sa zväčša myslí diskriminant [[kvadratická rovnica|kvadratickej rovnice]]. Diskriminanty polynómov vyšších rádov než kvadratických sú obtiažnejšie zapamätateľné pre svoj zložitý predpis.

Nech je daná kvadratická rovnica vo všeobecnom tvare <math>ax^2+bx+c=0</math>. Jej diskriminant je číslo <math>D</math> dané predpisom

<math>D=b^2-4ac\,;\;a,b,c\in\mathbb{R},a\ne0</math>
== Diskriminant a korene kvadratického polynómu ==
Hodnota diskriminantu veľa napovie o charaktere koreňov. Môžu nastať tri situácie, kde diskriminant nadobúda kladnú, zápornú alebo nulovú hodnotu. Ak je diskriminant kladný, korene polynómu môžeme písať v tvare

<math>D>0\Rightarrow x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}</math>

V prípade záporného diskriminantu sú korene kvadratického polynómu [[komplexné číslo|komplexné čísla]], pričom jeden koreň je komplexne združený k druhému, teda

<math>D<0\Rightarrow x_{1,2}=\frac{-b\pm\mathrm{i}\sqrt{|D|}}{2a}</math>

Teda ak sa predpokladá záporný diskriminant, vzorec pre korene možno jednoducho odvodiť z vlastností imaginárnej jednotky nasledovne<br />
<math>\frac{-b\pm\sqrt{-|D|}}{2a}=\frac{-b\pm\sqrt{\mathrm{i}^2|D|}}{2a}=\frac{-b\pm\mathrm{i}\sqrt{|D|}}{2a}</math>

V poslednom prípade nulového diskriminantu ide o jeden dvojnásobný koreň

<math>D=0\Rightarrow x=-\frac{b}{2a}</math>
== Odvodenie vzťahu pre diskriminant ==
Odvodenie vychádza z jednoduchej úpravy na úplný štvorec a v osamostatnení neznámej <math>x</math>:

<math>\begin{array}{rcl}
ax^2+bx+c&=&0\\
4a^2x^2+4abx+4ac&=&0\\
(2ax+b)^2-b^2+4ac&=&0\\
(2ax+b)^2&=&D\\
|2ax+b|&=&\sqrt{D}\\
x_{1,2}&=&\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}
\end{array}</math>

== Pozri aj ==
* [[Kvadratická rovnica]]


[[Kategória:Matematika]]