Zobrazenie zdroja stránky Analýza hlavných komponentov

[[Súbor: GaussianScatterPCA.png|náhľad|Analýza hlavných komponentov pri [[Mnohorozmerné normálne rozdelenie|mnohorozmernom normálnom rozdelení]] so stredom v bode (1, 3). Zobrazené [[vektor]]y sú [[Vlastný vektor|vlastné vektory]] [[Kovariančná matica|kovariančnej matici]].]]

'''Analýza hlavných komponentov''' (skratka: '''AHK''') alebo '''analýza základných komponentov''' ({{V jazyku|eng|principal component analysis}}, skratka: '''PCA''') je [[matematika|matematická]] [[Štatistika|štatistická]] metóda, ktorá využíva [[Ortogonálna transformácia|ortogonálnu transformáciu]] na to, aby previedla prvky množiny pozorovaní, u ktorých je možné, že sú korelované, na prvky takej množiny hodnôt, ktoré sú lineárne nekorelované. Tieto sa potom označujú ako '''hlavné komponenty''' alebo '''základné komponenty''' (angl. principal components).

Matematicky je analýza hlavných komponentov takmer to isté ako [[singulárny rozklad]] (iné názvy: [[singulárny rozklad matice]], [[rozklad na singulárne hodnoty]], [[dekompozícia singulárnej hodnoty]]; {{V jazyku|eng|singular value decomposition}}, skratka: '''SVD''')<ref>SHLENS, J. A Tutorial on Principal Component Analysis. 2014. S. 7 [http://arxiv.org/pdf/1404.1100]</ref>.

Pri analýze hlavných komponentov ide teda o to, že hľadáme takú množinu [[lineárna kombinácia|lineárnych kombinácií]] pôvodných premenných (pozorovaní), ktorá zachováva čo najväčšie množstvo informácií o pôvodných premenných (pozorovaniach) a zároveň jej [[dimenzia]] bude menšia alebo nanajvýš rovná ako dimenzia pôvodnej množiny (počet prvkov novej množiny bude menší alebo nanajvýš rovný ako počet prvkov pôvodnej množiny). Týmto postupom sa docieli to, že bude možné študovať daný štatistický problém v [[podpriestor]]e s menšou dimenziou, čo má veľký význam pri ďalšej analýze štatistického súboru ([[testovanie hypotéz]], hľadanie [[Oblasť spoľahlivosti|oblastí spoľahlivosti]], grafické znázorňovanie pozorovaní, a pod.).

Počet hlavných komponentov je teda vždy menší alebo nanajvýš rovný pôvodnému počtu prvkov. Ortogonálna transformácia, ktorá sa pri tejto metóde používa, je definovaná tak, aby mal prvý hlavný komponent najväčšiu [[Variancia|varianciu]] spomedzi všetkých možných lineárnych kombinácii vektora pozorovaní.

Metódu analýzy hlavných komponentov navrhol v roku [[1901]] [[Anglicko|anglický]] [[matematik]] [[Karl Pearson]] a v roku [[1933]] ju zovšeobecnil [[USA|americký]] matematik [[Harold Hotelling]].

== Definícia ==
Uvažujme ''p''-rozmerný [[náhodný vektor]] <math>{\mathbf X} = (X_1, \cdots, X_p)^{T}</math>, ktorého kovariančnú maticu označme <math>{\mathbf \Sigma}</math> (táto matica je štvorcová typu <math>p \times p</math> a kladne semidefinitná). Podľa [[Jordanova spektrálna dekompozičná veta o symetrických maticiach|Jordanovej spektrálnej dekompozičnej vety o symetrických maticiach]] vieme, že každú symetrickú štvorcovú maticu môžeme zapísať v nasledovnom tvare:

<math>{\mathbf \Sigma} = {\mathbf U}{\mathbf A}{\mathbf U}^{T} = \sum^{p}_{j=1} \alpha_{j} u_{j} u_{j}^{T}</math>

Kde:
* matica <math>{\mathbf A} = diag(\alpha_1, \cdots, \alpha_p)</math> je diagonálna matica, ktorej prvky sú [[vlastné čísla]] matice <math>{\mathbf \Sigma}</math>.

* matica <math>{\mathbf U} = (u_1, \cdots, u_p)</math> je ortogonálna matica, ktorej stĺpce sú [[vlastné vektory]] [[norma|normy]] 1 matice <math>{\mathbf \Sigma}</math>. Tieto vektory <math>u_1, \cdots, u_p</math> tvoria ortonormálny systém vlastných vektorov matice <math>{\mathbf \Sigma}</math>.

* <math>\alpha_{j}</math> je vlastné číslo prislúchajúce vlastnému vektoru <math>u_{j}</math>. Môžeme predpokladať, že pre tieto vlastné čísla platí: <math>\alpha_1 \ge \cdots \ge \alpha_p</math>.

[[Stredná hodnota|Strednú hodnotu]] vektora <math>{\mathbf X}</math> označme <math>\mu</math>. Potom náhodný vektor <math>{\mathbf Z}</math>, ktorý je definovaný nasledujúcim vzťahom:

<math>{\mathbf Z} = U^T({\mathbf X} - \mu)</math>

nazývame vektorom hlavných komponentov náhodného vektora <math>{\mathbf X}</math>.

Pre strednú hodnotu a kovariančnú maticu vektora <math>{\mathbf Z}</math> platí nasledovné:

* <math>E({\mathbf Z}) = 0</math>
* <math>D({\mathbf Z}) = diag(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_p)</math>

Zložky vektora sú nekorelované a pre [[Disperzia|disperzie]] týchto zložiek platí, že:  <math>D(Z_1) \ge D(Z_2) \ge \cdots \ge D(Z_p)</math>.
Jednotlivé zložky vektora <math>{\mathbf Z}</math> sa nazývajú hlavné komponenty, teda pre <math>k = 1, \cdots, p</math> je [[náhodná premenná]] tvaru:

<math>Z_k = u_k^T({\mathbf X} - \mu)</math>

''k''-ty hlavný komponent náhodného vektora <math>{\mathbf X}</math>.

== Vlastnosti ==
Základné vlastnosti hlavných komponentov sú nasledovné:

* <math>E(Z_j) = 0</math> pre <math>j = 1, \cdots, p</math>

* <math>D(Z_j) = \alpha_j</math> pre <math>j = 1, \cdots, p</math>

* <math>cov (Z_i, Z_j) = 0</math> pre <math>i \ne j</math>

* <math>cov(X_k ; Z_l) = u_{k, l} \alpha_l</math>

* pre [[koeficient korelácie]] platí, že: <math>\rho(X_k ; Z_l) = u_{kl} \frac{\sqrt{\alpha_l}}{\sigma_k}</math>

Kde <math>k, l \in \{1, \cdots, p\}</math> a <math>u_{kl} = (u_l)_k</math> je ''k'', ''l''-ty prvok matice <math>U</math> a <math>\sigma_k = \sqrt{D(X_k)}</math>.

Prvý hlavný komponent <math>Z_1</math> náhodného vektora <math>X</math> má najväčšiu disperziu spomedzi všetkých normovaných lineárnych kombinácií prvkov vektora <math>X</math>. Matematicky môžeme túto vlastnosť zapísať nasledovne:

<math>D(Z_1) \ge D(c^{T}{\mathbf X})</math>

kde <math>c</math> je ľubovoľný ''p''-rozmerný vektor normy 1.

Pre druhý a každý ďalší hlavný komponent, teda pre <math>i \ge 2</math>, má ''i''-ty hlavný komponent <math>Z_i</math> náhodného vektora <math>{\mathbf X}</math> najväčšiu disperziu spomedzi všetkých tých normovaných lineárnych kombinácií prvkov vektora <math>{\mathbf X}</math>, ktoré sú nekorelované s hlavnými komponentmi <math>Z_1, \cdots, Z_{i-1}</math>.

Hlavné komponenty sú závislé od mierky, v ktorej sa vyskytujú jednotlivé premenné. Teda máme štatistický súbor, ktorý obsahuje rôzne premenné, pričom niektoré sú merané napríklad v [[meter|metroch]], iné v [[kilometer|kilometroch]], a ďalšie napríklad v [[sekunda|sekundách]]. Hlavné komponenty sa v tomto prípade zmenia. Preto sa v praxi niekedy pristupuje k tzv. [[Štandardizácia náhodných premenných|štandardizácii premenných]], čo znamená, že sa na odhady vektorov hlavných komponentov namiesto [[Kovariančná matica|výberovej kovariančnej matici]] používa [[Korelačná matica|výberová korelačná matica]]. Po aplikovaní tejto metódy dostaneme vektory výberových hlavných komponentov, ktoré nezávisia od mierky.

Z teoretického pohľadu je však najvhodnejšie použiť metódu analýzy hlavných komponentov v takých prípadoch, kedy sú jednotlivé premenné skúmaného štatistického súboru rovnakého charakteru (teda boli zmerané v rovnakých jednotkách).

== Referencie ==
{{Referencie}}

== Iné projekty ==
{{Projekt|commons=Category:Principal component analysis}}

== Zdroj ==
* {{Preklad|en|Principal component analysis|574908053}}
* {{Citácia knihy
 | priezvisko = Lamoš
 | meno = František
 | odkaz na autora = 
 | priezvisko2 = Potocký
 | meno2 = Rastislav
 | autor2 = 
 | odkaz na autora2 = 
 | titul = Pravdepodobnosť a matematická štatistika - Štatistické analýzy
 | kapitola = Analýza hlavných komponentov
 | vydavateľ = Univerzita Komenského v Bratislave, Vydavateľstvo UK
 | miesto = Bratislava
 | rok = 1998
 | isbn = 80-223-1262-2
 | počet strán = 344
 | url = 
 | jazyk = 
}}
* {{Citácia elektronického dokumentu
 | priezvisko = Harman
 | meno = Radoslav
 | odkaz na autora = 
 | vydavateľ = Katedra aplikovanej matematiky a štatistiky UK v BA
 | titul = Mnohorozmerné štatistické analýzy
 | url = http://www.iam.fmph.uniba.sk/ospm/Harman/vsa.pdf
 | dátum vydania = 2013-03-06
 | dátum prístupu = 2013-10-20
 | miesto = 
 | jazyk = 
 }}{{Nedostupný zdroj|date=október 2023 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}
* {{Citácia periodika
  | priezvisko =  Andrejiová
  | meno =  Miriam
  | priezvisko2 =  Olexa
  | meno2 =  Jozef 
  | titul =  Analýza spotreby prenosných batérií na Slovensku prostredníctvom metódy hlavných komponentov
  | periodikum =  Forum Statisticum Slovacum
  | odkaz na periodikum =  
  | vydavateľ = Slovenská štatistická a demografická spoločnosť
  | ročník =  2011
  | číslo =  5
  | url =  http://www.ssds.sk/casopis/archiv/2011/fss0511.pdf
  | dátum prístupu =  2013-10-20
  | jazyk =  
}}

[[Kategória:Mnohorozmerná štatistika]]
[[Kategória:Rozklad matíc]]
[[Kategória:Analýza dát]]